基本不等式 一、教材分析 本节课内容为“基本不等式 ”，选自人民教育-出卷网- A 版普通高中数学教科书必修第一 册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第 2 节。“基本不等式 ”重点研究基本不等式的 证明，并且将之应用于证明、最值问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范，体现了新 课标所要求的培养学生创新精神及数学应用的意识。本节内容一定程度上是不等关系与相等 关系的运用，也是系统学习不等式证明的基础，基本不等式在证明其他不等式的过程中起到 了重要的桥梁作用。 二、学情分析 学生已经学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，对于基本不 等式的学习是比较容易的；但是，要真正地理解基本不等式，并能够结合几何中的实例，学 会分析问题、解决问题是学生需要突破的一个难点。 三、教学目标 （1）通过生活实例、代数证明、几何意义等环节，感知基本不等式的形成过程；让学 生经历基本不等式的发现、探究与证明的过程，培养观察、分析、归纳、推理能力。 （2）理解基本不等式的形式及其等号成立的条件，从几何角度对基本不等式进行探究， 理解、建立基本不等式求最值的模型。 （3）掌握基本不等式求最值的基本原理，感受数学公式的简洁美，体会数学的应用价 值，培养学生的逻辑推理、数学建模等核心素养。 四、教学重点、难点 重点：经历基本不等式的证明过程，理解与运用基本不等式。 难点：理解基本不等式的形成过程。 五、课型课时、教学准备 1. 课型：新授课； 2. 课时：1 课时 3. 教学准备：多媒体、实物投影、展台等. 六、教学流程图 ( 创设情境，发现问题 ) ↓ 合作交流，生成新知 ↓ ( 师生共探，证明新知 ) ↓ 运用新知，解决问题 ( ↓ ) 当堂检测，巩固新知 ↓ ( 反思小结，观点提炼 ) 2 分钟 8 分钟 10 分钟 15 分钟 5 分钟 5 分钟 七、教学内容及过程 （一）创设情境，发现新知 【地主分地的故事】地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分给 小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？ 设计意图：通过生动有趣的小故事，渲染课堂气氛，调动学生学习的积极性，同时引出课 题。 （二）合作交流，生成新知 问题 1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个 重要不等式：a2 + b2 ≥ 2ab(a ,b ∈ R) ，当且仅当 a = b 时，等号成立。那么，当 a>0,b>0 时，我们 用 · 、 ·分别代替上式中的 a ，b ，上述不等关系变为什么？ 师生活动：老师提出问题 1 让学生思考，学生演算后让学生口头回答，老师再给出基本不等 式的概念，接着老师引导学生分析基本不等式的结构特征，给出算术平均数与几何平均数的 概念。 追问 1. 如何用一句话概括基本不等式表达的意义？ 学生：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 追问 2. 为何规定 a>0，b>0 ？ 师生活动：学生小组讨论后回答，老师予以补充说明。 追问 3. 等号在什么情况下成立？ 学生：当且仅当a=b 时等号成立。 追问 4. 如何理解“当且仅当 ”的意义？ 师生活动：学生口头回答后，老师予以补充说明。 设计意图：通过对基本不等式结构特征的解读，让学生加深对基本不等式的记忆和理解， 同时强调基本不等式应用的前提及等号成立的条件，为后续应用基本不等式求最值做铺垫。 （三）师生共探，证明新知 问题 2. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨 性，请同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式呢？ 追问 1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些 你会用这些 方法证明基本不等式吗？ 师生活动： 学生：作差法 教师：请大家拿出演草纸，尝试用作差法证明。 学生：在纸上演算。 教师：PPT 展示答案。 学生：在学案 ... ...
