【精品解析】圆与二次函数—北师大版数学九（下）知识点训练

圆与二次函数—北师大版数学九（下）知识点训练 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（2024九上·朝阳期末）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则l与与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义；弧长的计算；扇形面积的计算 【解析】【解答】由题意得： 与满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 【分析】根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l、S与R的关系即可求解. 2．（2023九上·宿城期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；两点之间线段最短；点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：如图，连接，交于G，连接，， ∵， ∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即， ∵当时， 解得：，， ∴，， ∴， ∴为的中点，而F为的中点， ∴， ∴F在以G为圆心，半径为1的半圆周上运动， 当A，F，G三点共线时，最短， 此时， ∴的最小值为：， 故答案为：C. 【分析】连接CD，交⊙C于G，连接GF、CE，根据抛物线的解析式可得顶点坐标为D（1，-4），则CD=4，令y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，则CG=AC=BC=2，推出GF为△CDE的中位线，则GF=CE=1，故当A，F，G三点共线时，AF最短，据此求解. 3．如图 ， 动点 在线段 上（不与点 重合）， 1． 分别以 为直径作半圆， 记图中所示的阴影部分面积为 ， 线段 的长为 ． 当点 从点 移动到点 时， 随 的变化而变化，则阴影面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的最值；圆的面积 【解析】【解答】解：∵AB=1，AP=x， ∴BP=1-x. ∴ . ∵， ∴有最大值， 故阴影面积的最大值为. 故答案为：D. 【分析】根据阴影部分的面积=大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出y与x的函数解析式，把解析式化成顶点式，即可求得函数的最大值. 4．（2022·乐山模拟）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切， ∴x＝y或x＝﹣y， 当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数解； 当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x， ∵Δ＝b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解； 综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个， 故答案为：B． 【分析】 若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝±y，将其代入抛物线的解析式，再判定一元二次方程是否有解即可． 5．（2021·蕉岭模拟）已知抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A、B两点.如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②点C在⊙D外；③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；④直线CM与⊙D相切。正确的结论是（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】圆的综合题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质 【解析】【解答】由抛物线y＝a(x﹣3)2+可知：抛物 ... ...