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课件网) 第六章 平面向量及其应用 6.2.4 平面向量的运算 ———向量的数量积 温故知新 向量的数量积： 已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 温故知新 投影向量： 过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量的投影，叫做向量在向量上的投影向量. A D B C 温故知新 向量数量积的性质： 设，是非零向量，它们的夹角为，是方向相同的单位向量，则（1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. （4）由，我们还可以得到 新知探究 问题：与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积之后，就要研究数量积运算满足什么运算律？ 新知探究 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的那些运算律？你能证明吗？ 探究 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于，，和实数，有 （1） （2） （3） 新知探究 运算律的证明 （1） 设向量与夹角为， 则， 而， 所以成立. 新知探究 运算律的证明 （2） 设向量与夹角为， 则， 而， 又， 所以成立. 新知探究 运算律的证明 （3） 如图，任取一点O，作，，， . 设向量，，与的夹角分别为，，，它们在向量上的投影分别为，，，与方向相同的单位向量为，则 新知探究 运算律的证明 （3） 因为，所以，于是 新知探究 运算律的证明 （3） 即 整理，得， 所以， 即， 所以， 所以. 新知探究 设，，是向量，一定成立吗？为什么？ 思考 对于实数，，，有，但对于向量，，， 未必成立. 这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定贡献，所以未必成立 典型例题 例1：我们知道，对任意的，，恒有 ，. 对任意的向量，是否也有下面类似的结论？ （1）； （2）. 典型例题 【解】 （1） ; （2） . 因此，上述结论是成立的. 典型例题 例2：已知，，的夹角为，求. 【解】 . 典型例题 例3：已知，，且不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ 【解】与互相垂直的充要条件是 即， 因为，， 所以，解得：， 当时，向量与互相垂直？ 随堂练习 1、已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算： （1）； （2）. 随堂练习 2、已知，，且与互相垂直，求证. 随堂练习 3、求证：. 本节课到此结束！ 谢谢大家！
