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课件网) 第八章 平面解析几何 第8节 直线与圆锥曲线 1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题. 目 录 CONTENTS 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 课时分层精练 03 知识诊断自测 1 ZHISHIZHENDUANZICE 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有_____、_____、_____；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C _____；Δ＝0时，直线l与曲线C_____；Δ＜0时，直线l与曲线C_____. ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的_____平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的_____平行或重合. 相交 相切 相离 相交 相切 相离 渐近线 对称轴 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝_____＝_____或 |AB|＝_____＝_____，k为直线斜率且k≠0. 常用结论与微点提醒 √ √ × × 解析 (3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点或者直线l与双曲线相切有一个交点. (4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点. D 解析 结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有4条，过点(0，1)且平行于渐近线的两条直线以及过点(0，1)且与双曲线相切的两条直线. C 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 考点聚焦突破 2 KAODIANJUJIAOTUPO 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. 感悟提升 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形. D 解析 法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，故m≥1且m≠5. 由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立， 即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立， 由于m>0且m≠5，所以m≥1－5k2恒成立， 所以m≥1且m≠5. (3)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为 _____. 解析 当斜率k＝0时，直线y＝1平行于x轴，与抛物线y2＝4x仅有一个公共点. 当斜率不等于0时，直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x联立， 考点二 中点弦 D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上， 由双曲线方程可得渐近方程为y＝±3x，如图. x＋2y－3＝0 解析 易知此弦所在直线的斜率存在， ∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 感悟提升 训练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为_____. (1，－1) 解析 因为焦点到准线的距离为p，则p＝1， 所以y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2). 考点三 弦长公式 C 解析 设抛物线的方程为x2＝2ay， 则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得x2－ax＋a＝0， 所以x1＋x2＝a，x1x2＝a， 所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6， 所以x2＝－4y或x2＝12y. 感悟提升 解析 ... ...
