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课件网) 第1讲 函数的图象与性质 专题一 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 必备知识 精要梳理 1.函数的概念 (1)求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解. (2)求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法. 温馨提示函数的定义域与值域必须写成集合或区间的形式. 2.函数的性质 (1)奇偶性 这是函数具有奇偶性的重要前提 ①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|), f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x). ②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). (2)单调性 判断方法:定义法、图象法、导数法、复合函数同增异减. (3)周期性 等式中自变量x的系数同号 常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=± (a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则函数f(x)的一个周期T=2|b-a|(可类比正、余弦函数). 特别提醒若f(x)是奇函数且在原点有定义,则f(0)=0;若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有 3.函数的图象 (1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质,根据函数性质判断图象的位置、对称性、变化趋势等;③看变换,看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到的. 等式中自变量x的系数异号 (3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线 对称,y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. (4)利用图象可解决函数的最值问题,求方程与不等式的解,求参数的取值范围,等等. 关键能力 学案突破 突破点一 函数的定义及其表示 命题角度1 函数的定义域与值域 [例1-1]已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数 的定义域为( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) D A 方法点拨确定函数定义域的基本方法 (1)对于给出解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,只需构建不等式(组)求解即可. (2)对于复合函数,若已知f(x)的定义域为[a,b],则其复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求得. (3)对于含字母参数的函数,确定其定义域时,要根据具体情况对字母参数进行分类讨论. 对点练1 (多选题)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的x∈D,都存在y∈D,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是( ) A.y=sin xcos x B.y=ln x+ex C.y=2x D.y=x2-2x AB 解析 由题意,得“H函数”的值域关于原点对称.A中, 其值域关于原点对称,故A中函数是“H函数”;B中,函数y=ln x+ex的值域为R,故B中函数是“H函数”;C中,因为y=2x>0,故C中函数不是“H函数”;D中,y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,其值域不关于原点对称,故D中函数不是“H函数”. 命题角度2 分段函数及其应用 A.g(-1)=0 B.方程g(x)=2有3个实数根 C.方程g(x)=-2的所有实根之和为-1 D.当x<0时,f(x)≤g(x) ACD 解析 对于A选项,由题意知f(-1)=0,则g(-1)=f(f(-1))=f(0)=0,所以选项A正确. 对于B选项,令f(x)=u,则求g(x)=f(f(x))=2的根,即求f(u)=2的根. 因为方程f(u)=2没有实根,所以g(x)=2没有实根,所以选项B错误. 对于D选项,当x<0时,g(x)=f(x+1),则将函数f(x)在区间(-∞,1)内的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象(如图所示),当x<0时,函数g(x)的图象在f(x)的图象的上方(可以部分点重合),所以选项D正确. 故选ACD. A.(-4,0) B.(-3,0) C.[-4,0) D.[-3,0) B 由图可知a+b=-4,0
