中小学教育资源及组卷应用平台 实数的应用(1) 1. 证明： 是无理数. 2. 设a是有理数，x是无理数，证明：a+x是无理数，且当 时，ax是无理数. 3.证明：不存在正整数m和n，使得 4.证明：对任意正整数k，2k+1和2k-1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和. 5.已知实数a、b、c满足关系式 求证：a+b+c=0. 6.已知 ad-bc=1,求证:a+b+c+d+ ab+cd≠1. 7.已知 求证:a+b≤2. 8. 一个四边形的边长为a、b、c、d且 试判断此四边形的形状. 9.a、b、c、d是四边形四条边的长，且 试判断此四边形的形状. 10.在实数范围内，化简 11.在实数范围内，设 则x的个位数字是多少 12. 设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求 的值. 答案 1. 提示: 假设 是有理数，则 (m、 n为互质的整数)，所以 两边平方得 均为有理数).因为有理数对四则运算是封闭的，所以 为有理数，与已知 为无理数矛盾，所以 是无理数. 2.提示：假设a+x是有理数，则a+x-a=x也是有理数，这与题中“x是无理数”矛盾，所以a+x是无理数.同理假设 ax 是有理数， 也是有理数，这与题中“x是无理数”矛盾，所以 ax是无理数. 3.提示：假设存在正整数 m 和n，使 那么(m+n)(m-n)=1994, 1994=1×1994,1994=2×997只有两种分解,代入得m+n=1994,m-n=1;或者m+n=997,m-n=2,解出来m,n都不是整数，与假设矛盾. 4.提示：若 则整理得 ，k无实数解. 5.提示：三式相加得a +b +c +2ab+2ac+2bc≤0, (a+b+c) ≤0,所以a+b+c=0.因为绝对值都是非负数，非负数较大的其平方也较大，因此可通过两边平方把绝对值符号去掉. 6.提示：如果 整理可得a=-b,c=-d, b=-c,a=d, 所以 与 ad-bc=1矛盾. 7.提示:假设a+b>2, 则a>2-b,故 即( 不可能，从而a+b≤2. 8.平行四边形.提示：由 得a=c, b=d. 因为a和c 是对边，b和d 是对边，所以此四边形是平行四边形. 9.菱形.提示:由条件(a - + 故 所以a=b=c=d,故此四边形是菱形. 10.1.提示：考虑被开方数，得 所以原式=1. 11.6.提示：要求x的个位数字，只需确定a 的值，寻找关于a 的等式，根据非负数性质得(a-2)(|a|-1)=0,于是a=2或a=±1, 又因为 所以a≠2, a≠1, 故a=-1, 此时x=(-2) ,又2的乘方的末位数依次是2,4,8,6的循环, 2004÷4=501, 所以x的末位数是6. 12. .提示：由等式得a=0，从而已知式化为. 故所求式
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