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课件网) 19.1.2 第1课时 矩形的判定（1） 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点） 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 知识点1 由矩形的定义判定一个四边形是矩形 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是否是矩形. 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形. A B D C 除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？ 矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质： 1.四个角都是直角； 2.两条对角线相等. 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 让我们先思考有关的角.由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形.的确如此，但是，条件能否再减少一 些，三个角是直角的四边形是矩形吗？两个角是直角的四边形是矩形吗？一个角是直角的四边形是矩形吗？ 问题 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 例1 如图，□ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：在□ABCD中，AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线, A B D C H E F G ∴四边形EFGH是矩形． 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°. ∴ ∠BAE+ ∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°. 现在让我们再思考有关的线段.“对角线相等”是矩 形所特有的性质.那么从对角线的角度，你可以得到关于 矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们 的想法是否一致、可行. 由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边 形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形.” 知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在 ABCD中，∵AC=BD， ∴ ABCD是矩形. A B C D 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，有一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中 ... ...
