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课件网) 选择必修 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数的在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 3.函数的最大（小）值 教学目标 学习目标 数学素养 1.理解函数最值的概念． 1.数学抽象素养. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.数学抽象素养和数学运算素养. 3.掌握函数极值的判定及求法． 3.数学运算素养和逻辑思维素养. 温故知新 1.函数极值的概念 2.函数极值的求法 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum). ⑴如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值； 解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时： ⑵如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值. 知新探究 观察如图所示的函数y＝f(x)，x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题： o x y 2 3 －2 －3 －3 2 ⑴图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ ⑵图中所示函数最值点与最值分别是什么？ 我们知道，极值是一个局部概念，而不是在整个定义域内 的性质.也就是说，如果x0是函数y＝f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更（小）大的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个 值最小. 如果x0是某个区间上函数y＝f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y＝f(x)在此区间上的所有函数值. 知新探究 如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 观察图象我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值. 从上图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(x3). 进一步地，你能找出函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？ 知新探究 在如下图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值、最小值分别是什么？ ⑴ ⑵ 由图可知，函数y=f(x)在[a，b]上的最大值是f(b),最小值是f(a)；函数y=g(x)在[a，b]上的最大值是g(x3),最小值是g(x4). 一般地，如果在区间[a，b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断地曲线，那么它必有最大值和最小值. 知新探究 观察下列函数在开区间上的连续函数的图象，它们有最大值和最小值吗？ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 显然，图⑴中函数y=f(x)在区间(a,b)上有最大值，但没有最小值；图⑵中函数y=f(x)在区间(a,b)上既没有最大值，也没有最小值；图⑶中函数y=f(x)在区间(a,b)上有最小值，但没有最大值；图⑷中函数y=f(x)在区间(a,b)上既有最大值，也有最小值. 在区间(a，b)上的连续函数y=f(x)不一定有最大值和最小值. 知新探究 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值；如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)为函数在定义域内的最小值． ⑴开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； 注意： ⑵函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 函数最值与极值的区别与联系 ⑴函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念． ⑵在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． ⑶极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必 ... ...
