高考数学基础知识自查手册 第二部分 解三角形（几何）（PDF版）

小 课 堂 第二部分 解三角形 A ★ 1、正弦定理 a b c c b sinA = sinB = sinC = 2R. (R为外接圆半径 ) O B a C ★ 2、余弦定理 2 2 2 a2= b2+ c2- 2bccosA cosA= b + c a 2bc A 2 b2= c2+ a2- 2cacosB cosB= a + c 2 b 2 2ac c b 2 2 c2= a2+ b2- 2abcosC cosC = a + b c 2 2ab B a C ★ 3、面积定理 直接求解式： S= 1 1 1 12 ×底× h= 2 aha= 2 bhb= 2 chc 坐标运算式： S= 12 ×水平宽×铅锤高 三角运算式： S= 1 absinC = 1 bcsinA= 12 2 2 casinB. 海伦公式： S= p(p a) (p b) (p c)p= a + b + c2 向量运算式： AB= a= (x1,y1)，AC = b= (x2,y2) S= 1 2 a 2 b 2 (a b)2= 12 x1y2 x2y1 ※ 4、三角形内角和定理 C = π- (A+B) 在ΔABC中，有A+B+C = π C π A + B 2 = 2 - 2 . 2C = 2π- 2(A+B) 互补关系：sin(A+B) = sin(π-C) = sinC cos(A+B) = cos(π-C) =-cosC 互余关系：sin A + B 2 = sin( π 2 - C 2 ) = cos C 2 cos A + B = cos( π - C ) = sin C2 2 2 2 ※ 5、两个重要模型 （1）三角形周长的求解：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化。 周长= a+ b+ c= (a+ b) + c= a+ (b+ c) = (a+ c) + b 2 2 2 a = b + c 2bccosA 模型： (b+ c)2= a2+ 2bc+ 2bccosA(b+ c)2= b2+ 2bc+ c2 (2)三角形面积最值：均值不等式求面积：均值不等式结合完全平方公式运算 2 2 2 a = b + c - 2bccosA 模型： b 2+c2= a2+ 2bccosA c2+ b2≥ 2bc 2 等量代换：a2+ 2bccosA≥ 2bc bc≤ a 2- 2cosA S= 1 2 bcsinA ∴S = 1 × a 2 max 2 2- 2cosA × sinA 6、射影定理：在ΔABC中，a= bcosC + ccosB， b= ccosA+ acosC， c= acosB+ bcosA. ·42· A N 7、米勒定理：已知点M，N 是∠AOB的边OA上的两个 小 课 堂 定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形 M MPN 的外接圆与边OB相切于点P时，∠MPN 最大． C B 8、张角定理：如图，在ΔABC O P中，D为BC边上的一点，连 A 接AD， 设AD= l，∠BAD= α，∠CAD= β， α βc b si n α+ β l 则有： = si n α + si n βl b c ． B D C 托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 设四边形ABCD内接于圆O，则有AB CD+AD BC =AC BD， 广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB CD+AD BC≥AC BD， 当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立. 第二部分 复 数 复数概念与计算 1、概念 复数：把形如 z= a+ bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中 a称为实部，b称为虚部，i称 为虚数单位.当 z的虚部等于零时，常称 z为实数；当 z的虚部不等于零时，实部等于零 时，常称 z为纯虚数.称复数 z= a bi为 Z的共轭复数. 共轭复数的性质: (1) x+ yi = x- yi 复平面：记复数 z= a+ bi对应的坐标为（a,b).用水平的实 (2) x+ yi x- yi = x2+ y2 y 轴与垂直的虚轴建立起来的坐标系称为复平面.复数 z= a+ bi可以 z= a+ bi b Z 表示为向量OZ = (a,b).复平面上的点与复数一一对应. 模运算：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数 O a x 的模，记作 z . 即对于复数 z= a+ bi，它的模： z = a2+ b2 ★ 2、复数运算 加减法则： a+ bi ± c+ di = a± c + b± d i； 乘法法则： a+ bi c+ di = ac- bd + bc+ ad i； a + b i = a + b i c- di 除法法则： = a c + b d + b c - a d ic+ di c+ di c- di c2+ d2 乘方法则：i2= 1，in= i4k+r= ir 幂运算：zm zn= zm+n; (zm)n= zmn; (z1 z2)m= zmzm1 2 (m,n∈N ); ·43· 小 课 堂 3、几个重要的结论： (1) (1± i)2=± 2i 1 + i1 i = i 1 i 1+ i = i; (2) i性质：T = 4；i4n= 1,i4n+1= i,i4n+2= 1,i4n+3= i；i4n+ i4n+1+ i4+2+ i4n+3= 0; 复数的三角表示 1、概念 -般地，任何一个复数 x = a + bi都可以表示成 r(cosθ + y isinθ) ... ...