高考数学基础知识自查手册 第六部分 数列（函数）（PDF版）

第六部分 数 列 小 课 堂 等差与等比数列 ★ 1、等差与等比数列 等 差 数 列 等 比 数 列 后一项与前一项的差为常数 后一项与前一项的比为常数 定 义 a - = n+ 1 a = qn+1 an d an 通 项 an= a1+ n- 1 d= a + n-m d a = a qn-1= a qn-mm n 1 m n(a + a ) 求和 S = 1 n n 2 na1(q= 1) =na + 11 2 n(n 1)d Sn= a1 (1 qn ) a 1 a n q1 q = 1 q (q≠ 1) 公式 = d2 n 2+ (a d1 2 )n 中 项 如果 a,b,c成等差数列，则 2b= a+ c 如果 a,b,c成等比数列，则 b2= ac 性 质 若m+n= p+ q，则 am+ an= ap+ aq 若m+n= p+ q,则 am an= ap aq ① an 为等差数列 ①若Sn=Aan+B，则 {an}是等比数列. S = an2+ bn (无常数) ②若 Sn= Aan A≠ 0 ，则 an 是从第n ②若有S = an2n + bn+ c 二项 a2为首项的等比数列.充要 条件 an 是以 a2为首项的等差数列 ③ Sn= A q n+ B，当且仅当 A = B ③若有S =Aa 2+ 1 a +C 时，{an}是等比数列；当且仅当A≠ Bn n 2 n 1 时，{an}是从第二项 a2为首项的等比数 an 是等差数列，且 d= 2A 列. 补充 S S 2n 1 mn=na n + 1 ； an= 2n 1 Sm+n=Sm+ q Sn=Sn+ q nSm 公式 2 a > 0 a < 0 数列 ①Sn有最大值 n n ；Sn有最小值 an+1< 0 an+1> 0 Sn> 0 Sn< 0最值 ②Sn> 0，n的最大值 ；Sn< 0,n的最大值 .Sn+1< 0 Sn+1> 0 2、和数列与积数列 和数列 积数列 定 义 数列 an 满足 an+ an+1= f n 称和数列 数列 an 满足 anan+1= f n 称为积数列 an+ an+1= f n =An+B时， a nna n+1 = f n = q 时，则 a n 1a n = 则 an 1+ an=A n 1 +B，两式相 qn 1，通 项 减得：an+1 an 1=A，故 an 是隔 a两式相除得： n+ 1a = q，故 an 是隔 项的等差数列， n 1 a n + 1 项的等比数列，公比为 q； 1+A 2 1 n为奇数 n + 1公 式 an= 2 1 + n a q n为奇数a2 A 2 1 n为偶数 ∴ a = 1n na q 2 1 2 n为偶数 ·33· 小 课 堂 数列通项公式 ★ 1、Sn法求数列通项： (1)适用条件：适用题目所给关系式中含有Sn的情况. (2)核心步骤：① 当n= 1时，a1=S1 Sn法中题目所给有时是关系式 ② 当n≥ 2时，an=Sn Sn 1 eg :S 2n= 2n + 1,有时是递推式 ③检验，当n= 1时，a1=S1，是否满足 an eg：Sn= 2an+ 1。关系式可 直接得到 an，而递推式只能 ※ 2、构造法求数列通项： 得到方程型关系。 (1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= pan+ q (2)核心步骤：将题目的式子变形为：an+1= pan+ q an+1+A= p(an+A) an + 1+ A q a +A = p A= n p 1 所以 an+A 是以 a1+A为首项，以 p公比的等比数列 (3)构造法的引深 等差后缀 等比后缀 关系式 an+1= pan+ dn+ q an+1= pan+ q n an+1= pan+ dn+ q 左右两边同时除以 qn+1， an+1+ x(n+ 1) + y= p[an+ xn+ y] a 得 n+ 1 p an 1 an + 1+ x ( n + 1 )+ y = qn+1 = p q × qn + q a 递推步骤 n + xn+ y + + + + = a p 所以 an xn y n 是以 a1 x y 令 bn n ，则有 b 1 q n+ 1= q bn+ q 为首项，以 p公比的等比数列 p 对 b n+1= q bn+ 1 q 运用基础构造法. ※ 3、倒数变换法求数列通项 ( ) pa1 适用条件：适用题目所给关系式为 a + = n n 1 da + q (分子只有一项 ).n (2)核心步骤：左对两边同时取分之一转化为新数列. 1 = d an + q 1 = q × 1 + dan+1 pan an+1 p an p 若 p= q，则数列 1 是以 1 为首项，以 d a a p 为公差的等差数列；n 1 若 p≠ q，令数列 b = 1n a ，上式转化为 bn+1= αbn+ β，继续运用构造法即可求出数列 an .n ※ 4、整体除法求数列通项 (1)适用条件：适用所给关系式中含有数列积的式子.例如 anan+1 (2)核心步骤：① 左对两边同时除以题目的数列积，转化为新数列. ② 新数列为等差数列，用等差数列求解方法求解 ·34· 5、累 (叠 )乘法求数列通项 (1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= f(n) × an(等比数列 ... ...