高考数学基础知识自查手册 第三部分 初等函数、方程与不等式（函数）（PDF版）

小 课 堂 第三部分 初等函数、方程与不等式 函数图像与变换 1、五点法画图： 函数化简→定义域→讨论性质 (奇偶性、单调性 )→算零点、最值点→光滑曲线作图. ★ 2、图象变换 左 （1）平移变换：自变量“左加右减”：y= f(x) （ 右 ） 平 移 a 个 单 位 y= f(x± a) y y= f(x) y y= f(x- a) 左右平移 x x x1 x2 x1+ a x2+ a 因变量“上加下减”：y= f(x) 上 （ 下 ） 平 移 b 个 单 位 y= f(x) ± b y y y= f(x) y2+ b y= f(x) + b y2 上下平移 x y y1+ b1 x 横坐标变为原来的ω倍 （2）伸缩变换：y= f(x) y= f( 1ω x) （3）对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变” = ( ) 关 于 x 轴 对 称 = ( ) = ( ) 关 于 y 轴 对 称y f x y f x y f x y= f( x) 关于原点对 y= f(x) 称 = ( ) = ( ) 关 于 x =y f x y f x a 对 称 y= f(2a x) （4）翻折变换： y= f(x)→ y= | f(x)|保留 x轴上方部分，并将下方部分沿 x轴对称翻折到上方 y y y= f(x) y= f(x) 对 对称翻折 x 称翻 x 折 y= f(x)→ y= f(|x|)保留 y轴右边部分，并将右边部分沿 y轴对称翻折到左边 y y y= f(x) y= f( x ) 对称翻折 x ． x ·6· 附：几种常用初等函数图像 小 课 堂 1反比例型函数： = ax+ b a b ky cx+ d (c≠ 0， c ≠ d )分子常数化y= x- x + y0的图像是双曲线，其对称中心为点0 (x0，y0)， 其图象可由 y= kx 变换得到．【可根据对称中心 (x0，y0)，先画出两条渐近线，再根据 k的 符号画出双曲线！】 事实上，x0=- dc ，y a 0= c ；该函数定义域为 {x|x≠- d c }，值域为 {y|y≠ a c }． y y O x O x y= k kx- x + y k< 0 y= x- x + y0 k> 0 0 0 0 y y O x O x y= x- k kx k> 0 y= x+ x k> 0 2．双勾函数：y= x+ kx (k> 0)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：y= ax+ b x (a> 0，b> 0)】 可根据奇偶性和基本不等式 a+ b≥ 2 ab(a，b> 0)，或导数法确定极值点 x=± k． 【注意区别于 y= x- kx (k> 0)的图象，见上第三图．】 3．含绝对值的函数：f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b． (会用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．也要会直接快速 作出函数图象．) ⑴ f(x) = k x- a + b的图象：顶点坐标为 (a，b)，当 k> 0时，正∨字形；当 k< 0时，倒∨ (即∧)字形； y y a,b y y y x a,b x1 2 x x1 x2 x x2 x x1 xx 1 1 1 2 2 ⑵① f x = x- x1 + x- x2 + b；② f x = x- x1 - x- x2 + b； ⑶ f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b的图象．用零根分段去绝对值法变 分段函数，显然每段均为一次函数或常数． ·7· 4．如何作出 f x =max{f1 x ，f2 x ， ，fn x }或 f x =min{f1 x ，f2 x ， ，fn x }小 课 堂 的图象？(n≥ 2) 在同一坐标系中先分别作出函数 f1 x ，f2 x ， ，fn x 图象，再利用它们的交点分段 确定 f(x)的图象． 函数零点与基本不等式 1、方程与函数关系： 方程 f x = 0有实根 函数 y= f x 图象与 x轴有交点 函数 y= f x 有零点 ★ 2、零点存在性定理：零点存在性定理不可逆 如果函数 y = f x 在区间 y a,b 上的图象是连续 f(b) 不断的一条曲线，并且有 f a 零点 f b < 0，那么函数 y = f x 在区间 a,b 内有零 a x x 点，即存在 c∈ a,b ，0 b 使得 f c = 0，这个 c也就是方 f(a) 程 f x = 0的根. 3、不等式的性质： 性质 1：(对称性 )如果 a> b，那么 b< a；如果 b< a，那么 a> b． 性质 2：(传递性 )如果 a> b，且 b> c，则 a> c． 性质 3：如果 a> b，则 a+ c> b+ c． 推论：(同向可加性 )如果 a> b，c> d，则 a+ c> b+ d． 性质 4：如果 a> b，c> 0，则 ac> bc；如果 a> b，c< 0，则 ac< bc． ★ 4、基本 (均值 )不等式： 对于任意两个正实数 a，b， a + b2 叫做 a，b的算术平均值， ab叫做 a ... ...