第三部分 立体几何与空间向量 小 课 堂 空间几何体的结构特征 ★ 1、空间几何体的结构和计算 结 构 特 征 图 示 表面积体积 两底面相互平 E A F 行，其余各面都 S柱表= 2S底面积+S侧面积 侧棱 B D C 棱柱 是平行四边形； 侧面 F E 侧棱平行且相 底面 A D V柱=S底h 等. B C 柱体 两底面相互平行； S柱表= 2S底面积+S侧面积 以矩形一边所在 侧面 = 2πrl+ 2πr2 直线为旋转轴，其 圆柱 轴 余三边旋转形成 = 2πr(r+ l) 母线 的曲面所围成的 底面 V柱=S底h 几何体. 底面是多边形， 顶点 S 侧棱 各侧面均是三 S锥表=S底面积+S侧面积 侧面 棱锥 角形； D C 各侧面有一个 底面 V = 1锥 Sh 公共顶点. A B 3 锥体 底面是圆；以直角 顶点 S S 1 1 2扇形= 三角形的一直角 母线 2 lr= 2 α r 边所在的直线为 S锥表= πrl+ πr2 圆锥 旋转轴，其余两边 高 h = πr(r+ l) 旋转形成的曲面 1 所围成的几何体. VA O 锥 = 3 ShB 两底面相互平 侧棱 行；是用一个平 侧面 S台表=S底面积+S侧面积 棱台 行于棱锥底面的 D 平面去截棱锥， C 底面 底面和截面之间 A V= 1 3 (S上+ S上S下+S下)hB 的部分. 台体 两底面相互平 A O B 圆台 S = π(R+ r)l行；用一平行圆 母线 侧侧面 锥底面的平面截 高 h S = πrl+ πr2+ πRl+ πR2 圆锥，底面和截 台表 面之间的部分. A O B V= 1 3 (S上+ S上S下+S下)h 球心到球面上各点的 C 球心 球面 S球表= 4πR2 距离相等；是以半圆的 直径所在直线为旋转 球 A O B 4 3 轴，半圆面旋转一周形 R V球体= 3 πR 轴 成的几何体. D 球半径 ·45· ★ 2、三视图 小 课 堂 （1）三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何 体的图形，包括： 主视图：物体前后方向投影所得投影图，反映物体的高度和长度 左视图：物体左右方向投影所得投影图，反映物体的高度和宽度 俯视图：物体上下方向投影所得投影图，反映物体的长度和宽度 3、直观图 （1）概念：一个物体，从直观看上去的图形，叫做直观图.分为平行投影下画出的直观图和 中心投影画出的直观图，画直观图的方法叫做斜二测画法. （2）作图规则： 1 在已知图像中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的 x′ 轴和 y′ 轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′ = 45° 或 135° ，它们确定的平面表示水平面. 2 图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线段. 3 原图形中平行于 x轴的线段在直观图中长度不变，平行于 y轴线段变成原来的一半. 4、三视图之俯视图拔高： 三视图可以从俯视图开始，采用画弧、连线、拔高这三步去还原直观图 画弧与连线：长对正，宽平齐，高相等 找点：在俯视图中，依次标好“长对正，宽平齐”的交汇点， 拔高：各点找好后，在俯视图上能拔高的点是在正视图和侧视图中有“公共高”的点， 此点能拔立起来，俯视图转化成斜二测图形，并形成直观图． 如下图（3），点1处在正视图中有“高”，在侧视图中无“高”，故不能拔高 点2处在正视图和侧视图中有“公共高”，故此点应该拔高。 ？ × 1 1 ？ ？ √ × 2 3 2 3 ※ 5、正四面体的性质 (棱长为 a) ①全面积S= 3a2； ②体积V= 2 a3； 12 ③对棱间的距离 d= 2 a； ④相邻面所成二面角 α= arccos 1 2 3 ⑤外接球半径R= 6 a； ⑥内切球半径 r= 6 a； 4 12 ⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 h= 6 a. 3 ·46· 空间点线面位置关系 小 课 堂 ★ 1、线面平行 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此 判定 a a α 平面内的一条直线平行， b α a//α b 定理 则直线与此平面平行. α a//b 如果一条直线和一个 a//α a 性质 平面平行，经过这条直线 a β a//b 定理 的平面和这个平面相交， b α β= b α 则直线就和交线平行. ... ...
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