高考数学基础知识自查手册 第五部分 三角函数（函数）（PDF版）

第五部分 三角函数 小 课 堂 三角函数概念与计算 1、弧度制：半径长等于圆弧弧长的圆心角叫做 1弧度的角.用 rad表示，读作弧度,记 α . α = l 1° = π r 180 rad1rad= 1 8 0 π ° ★ 2、三角函数定义 : y 正弦函数: sinθ= 对 边 = y 斜边 r P(x,y) 余弦函数：cosθ= 邻 边 = x 斜边 r r α y 正切函数：tanθ= 对 边 = x 邻边 x ★ 3、同角三角函数的关系： sin2θ+ cos2θ= 1 tanθ= si n θcosθ tanθ cotθ= 1 ★ 4、三角函数特殊值 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π π π 2π 3π 5π6 4 60° 2 3 4 6 π 3π 2 2π sinα 0 1 2 3 1 3 2 12 2 2 2 2 2 0 1 0 cosα 1 3 2 1 12 2 2 0 2 2 32 2 1 0 1 tanα 0 33 1 3 — 3 1 3 3 0 — 0 还需实记的值：15o( π )：sin15o= 6 2 cos15o= 6 + 212 4 4 tan15 o= 2 3 ★ 5、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限. 口诀说明：奇指 (2 k + 1 ) π2 ，偶指 kπ；变与不变指三角函数名称的变化；符号是结果的符号； 看象限指看原式三角函数的角度所在的象限对应的三角函数符号. 公式一 sin 2kπ+ α = sinα cos 2kπ+ α = cosα tan 2kπ+ α = tanα 公式二 sin π+ α =-sinα cos π+ α =-cosα tan π+ α = tanα 公式三 sin -α =-sinα cos -α = cosα tan -α =-tanα 公式四 sin π- α = sinα cos π- α =-cosα tan π- α =-tanα π 公式五 sin 2 - α = cosα cos π 2 - α = sinα 公式六 sin π π 2 + α = cosα cos 2 + α =-sinα 总结：正弦、余弦的诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限 ) n n nπ (- 1) 2sinα, 2 nπ (-1) cosα,sin( 2 + α) = n - 1 cos( 2 + α) = n +(- ) , (- ) 11 2 cosα 1 2 sinα, ·29· 小 课 堂 三角函数图像与性质 ★ 1、三角函数图像性质 (书写规律：基准 (离 y轴最近的正值 ) +周期 ) y= sinx y= cosx y= tanx 1 y 1 y y 图 象 π 2π x π 3π2 2 x - -1 -π π1 π 3π π x 2 2 - 3π - π π 3π2 2 2 2 R R x x≠ kπ+ π定义域 2 ,k∈ Ζ 值 域 -1,1 -1,1 R x= 2kπ+ π2 ，ymax= 1 x= 2kπ时，ymax= 1； 最 值 x= 2kπ- π 既无最大也无最小 ,ymin=-1 x= 2kπ+ π，y2 min=-1 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单增区间 2kπ- π 2 ,2kπ+ π 2 [ π+ 2kπ,2kπ] kπ- π ,kπ+ π2 2 π 单减区间 2kπ+ 2 ,2kπ+ 3π 2kπ,2kπ+ π2 无 π 对称轴 x= kπ+ 2 k∈ Ζ x= kπ k∈ Ζ 无 对称中心 (kπ,0) ( π2 + kπ,0) ( kπ 2 ,0) ★ 2、三角函数的平移变换 (自变量左加右减，因变量上加下减 ) 横坐标变为原来 1 倍 (1) 纵坐先伸缩后平移 : y= sinx 标 变 为 原 来 A 倍 y=Asinx ω φ 向左 右 平移 个单位 y= ωAsinωx y=Asin ωx+ φ ( 纵坐标变为原来A倍 向左 右 平 2)先平移后伸缩 : y= sinx y=Asinx 移 φ 个 单 位 横坐标变为原来 1 倍 y= ωAsin x+ φ y=Asin ωx+ φ 定理：y=Asin(ωx+ φ )→ y=Asin(ωx+ φ )则平移单位为 φ 2- φ 1 1 2 ω (注意平移方向 ) ※ 3、三角函数的翻折变换 （1）f(x) = sinx 的图像由 f(x) = sinx图像作 x轴的对称翻折得到. f(x) = sinx y 1 对 对 称 称 -2π -π 翻 π 翻 2π x 折 π 折 2 -1 ·30· （2）f(x) = sin x 的图像由 f(x) = sinx图像作 y轴的对称翻折得到. y 小 课 堂 1 f(x) = sin x -2π -π π 2π x 对称翻折 -1 正余弦型三角函数 y ★ 1、正弦型三角函数 y=Asin(ωx+ φ) +B A (1)A(振幅 )：振动物体离开平衡位置的最大距离. ωx+ φ(相位 )：振动物体任意时刻的状态. 振幅 x φ(初相 )：振动物体初始时刻的状态. B 周期T T = 2π f(x) =Asin ωx+ φ +B ω (周期 )：振动物体往复一 ... ...