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课件网) 第1讲 函数的图象与性质 2025 领航高考风向标 通览主干知识 一、函数的概念与性质 1.求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解. (1)若f(x)的定义域为[m,n],则f[g(x)]的定义域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值范围; (2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n,得到g(x)的值域即为f(x)的定义域; (3)对于分段函数的定义域为每段x的取值范围的并集,值域为每段y的取值范围的并集. 2.求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法. 3.函数的单调性 函数单调性的判断方法 (1)定义法. (2)图象法. (3)性质法,即f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上):简记为↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘. (4)导数法 复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减” 4.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x) =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 奇偶性 偶函数 奇函数 性质 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|) 如果函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,那么f(0)=0 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)偶函数=奇函数;(两个函数定义域的交集非空,除法时作分母的函数不等于0) 5.函数的周期性与对称性 二、基本初等函数、函数的应用 1.基本初等函数 名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 a>1 增函数 在(0,+∞)内为增函数 α>0 幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增 名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 0
0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间 利用导数研究函数的极值 (1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点; (2)函数的极大值不一定大于函数的极小值 利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值; (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函 ... ... 