2025年寒假知识巩固第13章分类讨论思想在等腰三角形中的应用练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 寒假知识巩固第13章分类讨论思想在等腰三角形中的应用练习题 底角或顶角不确定时的分类讨论 1．如果等腰三角形的一个外角是110°，那么它的顶角的度数为 　 　． 2．已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30°，点C在直线l上，若△ABC是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是 　 　． 底和腰不确定时的分类讨论 3．已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长． 4．用一条长为24cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？为什么？ 三．遇到中线分周长时的分类讨论 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，求这个三角形三边的长． 6．等腰三角形一腰上的中线把周长分为15厘米和6厘米两部分，求等腰三角形的底边长． 四．高的位置不确定时分类讨论 7．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，求该等腰三角形的顶角的度数． 五．与边的垂直平分线有关的分类讨论 8．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 9．已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为　 　． 六．遇到动点、动线时的分类讨论 10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 　 　秒后，△BCQ是以CQ为腰的等腰三角形． 11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D． （1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明； （2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由． 参考答案 1．解：∵一个外角为110°， ∴三角形的一个内角为70°， 当70°为顶角时，顶角为70°， 当70°为底角时，顶角为40°， 所以等腰三角形的顶角为70°或40°． 故答案为：70°或40°． 2．解：如图： 分三种情况： 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线l于点C1，C2， ∵∠BAC1＝30°， ∴∠BAC2＝180°﹣∠BAC1＝150°， 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线l于点C3， ∴∠BAC3＝∠BC3A＝30°， ∴∠ABC3＝180°﹣∠BAC3﹣∠BC3A＝120°， 当C4A＝C4B时，作AB的垂直平分线，交直线l于点C4， ∴∠BAC4＝∠ABC4＝30°， ∴∠AC4B＝180°﹣∠BAC4﹣∠ABC4＝120°， 综上所述：若△ABC是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是30°或150°或120°， 故答案为：30°或150°或120°． 3．解：①当8cm是腰长时， ∵另一边长为：9cm， ∴三角形的三条边分别为：8cm，8cm，9cm， ∵8+8＞9， ∴能组成三角形， ∴周长＝8+8+9＝25cm， ②当8cm为底边时， 三角形的三边分别为8cm，9cm，9cm， ∵8+9＞9， ∴能组成三角形， ∴周长＝8+9+9＝26cm， 综上所述，周长为25cm或者26cm． 4．解：（1）设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm， 由题意得：x+2x+2x＝24， 解得：x， 当x时，2x， ∴等腰三角形的各边长分别为：cm，cm，cm； （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形， 理由：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为5cm时， ∵等腰三角形的周长为24cm， ∴等腰三角形的底边长＝24﹣5﹣5＝14（cm）， ∵5+5＝10＜14， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为5cm时， ∵等腰三角形的周长为24cm， ∴等腰三角形的腰长（cm）， ∴等 ... ...