2024-2025学年浙江省杭州市高二上学期1月期末考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆，则椭圆的焦距为( ) A. B. C. D. 3.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为( ) A. B. C. D. 4.“”是“直线与直线平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知，则( ) A. B. C. D. 6.在平行六面体中，，，，，，则( ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点为直线上一点，点为圆上一点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆的半径，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是( ) A. B. ，，三点共线 C. D. 在上的投影向量为 10.已知圆，圆，则下列说法正确的是( ) A. 圆，恒有公共点 B. 圆，至多有三条公切线 C. 若圆平分圆的周长，则 D. 若圆平分圆的周长，则的最小值为 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，，为上关于原点对称的两点与的顶点不重合，则下列说法正确的是( ) A. 椭圆的方程为 B. C. 直线与的斜率乘积为 D. 的面积随周长变大而变大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线的倾斜角为 13.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面若，则直线与平面所成的角的大小为 14.设，是平面直角坐标系上的两点，为坐标原点，定义点到点的一种折线距离已知，是曲线上一点，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 求角的大小 若，的面积为，求的周长． 16.本小题分 已知定义在上的函数是偶函数． 求的值 当时，函数的最小值为，求的值． 17.本小题分 在三棱锥中，平面，，，． 求证：平面平面 若二面角的余弦值为，求的长度． 18.本小题分 已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点． 求抛物线的方程 若，求的值 若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围． 19.本小题分 世纪年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，直线与曲线相交于，两点，线段的中点为，直线的斜率为． 求曲线的方程 求的取值范围 求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由正弦定理得， 所以， 所以， 整理得， 因为，所以，因此， 所以，所以 由的面积为， 得，解得， 又，则，， 由余弦定理得， 解得，， 所以的周长为． 16.解： 是偶函数，， 即，即，； 由可知，， ， 令，由，可得， 上述函数转化为， 当时，在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，在上单调递减， 当时，，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，显然不合题意， 综上所述：． 17.【解答】 证明：在中，，，， ，可得，，， 平面，平面，，，，平面，平面， 平面，平面平面； 解：以，所在的直线为，轴，为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，，，设，则， ，，， 设平面和平面的法向量分别为，，则即，令，可得， 同理即，令，可得， 显然二面角的平面角为锐角，记为，，即， 或舍去，故． 18.解：由题意，，抛物线的方程为； 由题意：， 整理得，， ... ...
