(课件网) 7.2.2 单位圆与三角函数线 第七章 三角函数 1.了解单位圆的概念. 2.能够用三角函数线表示任意角的三角函数值. 设角 α 是一个任意角，P (x，y) 是 α 终边上异于原点的任意一点，点 P 与原点的距离 r = > 0. 那么：① 叫做 α 的正弦，即 sin α = ； ② 叫做 α 的余弦，即 cos α = ； ③ 叫做 α 的正切，即 tan α = (x ≠ 0)； 回顾：任意角的正弦、余弦与正切的定义 问题1：重新审视三角函数的定义，点P在终边上的位置与三角函数值无关.那么能否找到一个恰当的位置，使得三角函数的比值更加简洁呢？ 若选取的P点的坐标满足x2+y2=1， x2+y2=1可化为 . P(x，y)到原点(0，0)的距离为1. P(x，y)的轨迹是以原点(0，0)为圆心，1为半径的圆. 一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆. 即：以原点(0，0)为圆心，1为半径的圆. x y O P 问题2：如果选取的P点坐标为单位圆与角终边的交点，则下面的正弦与余弦的表达式有什么变化？ x y O P(x，y) A(1，0) B(0，-1) α 若角α的终边与单位圆的交点为P， 则P的坐标为(cos α，sin α). 思考1：如果选取的P点坐标为半径为2的圆与角终边的交点，则正弦与余弦的表达式有什么变化？那圆的半径为r呢？ 问题3：如果角α(α是第一象限角)终边与单位圆交点为P(x，y)，这样cos α=x，由此你能给出任意角α余弦的一个直观表示吗？ x y O P(cos α，sin α) M α 的终边 可以直观地表示 余弦线 思考2：若角α的终边在第二、三、四象限，能否用直观表示cos α O P M 1 x y O P M 1 x y O P M 1 x y 称为角的余弦线 问题4：设角α是任意象限角，能找到某一个向量直观表示sin α吗？ O P M A x 1 1 y O P M 1 x y O P M 1 x y O P M 1 x y 称为角的正弦线 O P(1，y) A x 1 1 y 取P点的坐标满足x=1，即P(1，y)， 则tan α= . y T 为角α的正切线. 举一反三：你能作出角的终边在第二、三、四象限时的正切线吗？ O x y A(1，0) T 终边 O x y T A(1，0) 终边 O T x y A(1，0) 终边 称为角的正切线 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 例1 作出 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求sin ，cos ，tan 的值. 解：在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴 为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作 PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交 于T点，即的正弦线为，余弦线为，正 切线为. 例1 作出 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求sin ，cos ，tan 的值. 例2 利用三角函数线证明|sin α|+|cos α|≥1. 证:当角α的终边在x(或y)轴上时，正弦线(或余弦线)变成一个点， 而余弦线(或正弦线)的长等于r(r=1)，所以|sin α|+|cos α|=1. 当角α的终边落在四个象限时，如图， 利用三角形两边之和大于第三边，有|sin α|+|cos α|=|MP|+|OM|>1. 综上，有|sin α|+|cos α|≥1. 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. 解:(1)如图所示，作直线y=交单位圆于A，B两点，连接OA，OB， 则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}. (2)如图所示，作直线x=-交单位圆于C，D两点，连接OC与OD， 则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围. 故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}. 利用三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置. (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值. (3)写角的范围时，先抓住边界值，然 ... ...
