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7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课件(共19张PPT)2024-2025学年人教B版(2019)高中数学必修第三册
日期:2025-04-04
科目:数学
类型:高中课件
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来源:二一课件通
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) 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 1.通过分析弧长与半径的比值理解弧度的意义. 2.掌握弧度与角度之间的换算关系,能正确地进行弧度与角度之间的转换. 3.理解弧长与扇形面积公式,会用弧长与扇形面积公式求解有关问题. 问题:结合生活中常见的汽车仪表盘,说一说,图中两圈不同数字的含义? 外圈数字单位是“千米/小时” ; 内圈数字是英制,单位为“英里/小时”. 思考:参照上述事例,说一说,角的度量是否也能用不同的单位制呢? 回顾:用度作单位来度量角的单位制叫做角度制; 思考:说一说,弧长与半径之间存在怎样的关系? O A B α P P1 l = 如图,设 α = n°,OP = r,点P所形成的圆弧 PP1 的长为l ;则: 问题:如图,在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ=r1,在旋转过程中,点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1. l1与r1的比值是多少?你能得出什么结论? O A B α P P1 Q1 Q = n 由:l1 = ,得: 结论:圆心角 α 所对的弧长与半径的比值,只与 α 的大小有关; 即:这个比值随α的确定而唯一确定. 概念讲解 弧度制:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad. 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 注意:(1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”可以略去不写,只写这个角对应的弧度数即可,如角α=-3.5 rad可写成α=-3.5.而用角度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不可以省略. (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小,都是一个与半径的大小 无关的定值. 任意角:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,任一已知角α的弧度数的绝对值: (l为弧长,r为半径). 练习1:下列各说法中,错误的说法是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 D 思考:结合前面的汽车仪表盘事例,我们可以知道千米和英里之间存在一定的换算关系,那么角度制、弧度制之间也存在这样的换算关系吗?如果存在,又该如何换算呢? x y O 由 |α| = 可知,周角的弧度数为:α = = 2π rad; 故 360° = 2π rad, 180° = π rad. 注意:上述 180° 是对应 π rad,而不是对应 实数 π. 角度与弧度的换算公式: 180°= π rad 1°= rad ≈ 0.017 45 rad 1 rad = ()°≈ 57.30° 角度数 = 弧度数× ()° 弧度数 = 角度数× 例1:已知角α=-2 024°. (1)将α改写成φ+2kπ(k∈Z,0≤φ<2π)的形式,并指出α是第几象限角; (2)在区间[-2π,4π)上找出与α终边相同的角. 解:(1)因为α=-2 024°=-6×360°+136°, 且136°=136×=, 所以α=-12π+,故α是第二象限角. 例1:已知角α=-2 024°. (2)在区间[-2π,4π)上找出与α终边相同的角. (2)与α终边相同的角可表示为θ=2kπ+,k∈Z, 又θ∈[-2π,4π),所以k=-1,0,1, 将k值分别代入θ=2kπ+,k∈Z得θ=-,, 设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l=_____ l=_____ 扇形的面积 S=_____ S=_____=_____ αr lr αr2 例2:如果一扇形的圆心角为60°,半径等于3 cm,则该扇形的弧长为_____cm,面积为_____cm2. 解析:圆心角为60°,即等于, 由弧长公式可得l=αr=×3=π, 由扇形面积公式可得S=lr=×π×3=. π π 例3:用30 cm长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 解:设扇形的圆心角为α,半径为r,面积为S,弧长为l,则有l+2r=30, ∴l=30-2r,从而S=·l·r=(30-2r)·r=-r2+15r=-(r-)2+. ∴当半径r= cm时,l=30-2× ... ...
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