7.2.4 诱导公式 课件（2份打包）2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(课件网) 7.2.4 课时1 诱导公式①~④ 第七章 三角函数 1.理解诱导公式①②③④的推导过程． 2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 探究1：根据任意角的三角函数的定义(三角函数线)，终边相同角的同名三角函数值有什么关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. O x y B – 30° 330° 诱导公式① 角α与α+2kπ(k∈Z)之间的三角函数值关系是： 用途：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数值. 大化小 例1 求下列各值. （1）sin ； （2）cos ； （3）tan 405°. 解：（1）sin = sin (6π + ) = sin = 1； （2）cos = cos (6π + ) = cos = ； （3）tan 405°= tan (45°+ 360°) = tan 45°= 1. 探究2：观察如图单位圆中角－α与角α的终边关于x轴对称，你能借助三角函数的定义探究出－α与α的同名三角函数值之间的关系吗？ 角α的终边与单位圆的交点P(x，y) y=sinα x=cosα =tanα 角-α的终边与单位圆的交点P’(-x，-y) sin(-α)=-y=-sin α tan(-α)==-tan αα cos(-α)=x=+cos α 诱导公式② 角α与-α之间的三角函数值关系是： 用途：可以把负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. 负化正 y x o P (x，y) (1，0) α -α P’ (x，-y) 例2 求下列各值. （1）sin ()； （2）cos ()； （3）tan () ； （4）sin (). 解：（1）sin () = sin = ； （2）cos () = cos = ； （3）tan () = tan = ； （4）sin () = sin = sin ( + 2π) = sin = . 探究3：借助终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究出π±α与α的同名三角函数值之间的关系吗？ 所以sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 诱导公式③ 角α与π-α之间的三角函数值关系是： 用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值. 诱导公式④ 角α与π+α之间的三角函数值关系是： 用途：将 内的角的三角函数值转化为 内的角的三角函数值. sin (α + k·2π) = sin α cos (α + k·2π) = cos α tan (α + k·2π) = tan α 诱导公式① 诱导公式② sin ( – α ) = – sin α cos ( – α ) = + cos α tan ( – α ) = – tan α 诱导公式③ sin ( π – α ) = + sin α cos ( π – α ) = – cos α tan ( π – α ) = – tan α 诱导公式④ sin ( π + α ) = – sin α cos ( π + α ) = – cos α tan ( π + α ) = + tan α 大角变小角，负角变正角，划到锐角为终了. 例3 已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　) A. B. C. D．－ sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝ ＝ 解析：sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m A 例4 设k为整数，化简： . 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则 原式＝ ＝ ＝ ＝－1； 解：法一：(分类讨论) 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1. 由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ， 故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)， sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)， sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)． 所以原式＝ ＝－1. 法二：(配角法) 例4 设k为整数，化简： . 练习：化简. (2) . (1) ； 原式＝ ＝ ＝－cos2α 原式＝ ＝ 利用公式①～④可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 0-2π角的三角函数 锐角的 三角函数 用公式③或① 用公式① 用公式②或④ C A 0 4.如 ... ...