(
课件网) 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 人教B版(2019)必修第三册 1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算． 2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 如图是一种折叠扇.折叠扇打开、合拢的过程 可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？ 变化的量：弧长、圆心角； 没有变化的量：半径. 问题：是否可以用弧长来度量圆心角呢？ 60°的圆心角，半径r为1，2，3，分别计算对应的弧长l，再计算弧长与半径的比. 猜想：圆心角不变，则弧长与半径的比值不变. 问题一般化 问题1：观察下面两图，弧AB与弧A'B'都与什么有关？ 将折叠扇抽象为如图所示的图形，可以看成弧AB与弧A'B'都与角α对应，但α≠0时，它们的弧长 与 始终不相等，其原因在于OA≠OA'. 问题一般化 问题2：那弧长与半径的比值有什么关系呢？ 事实上，设α=n°，弧AB的长为l，半径OA=r，则 ， 因此 . 这个等式右边不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与α的大小有关. 1.弧度数定义：弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 2.1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角, 记作1 rad. 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 如图，因为 的长度等于r，所以 所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角. 问题3：通过对比角度制与弧度制的区别与联系，完成下列表格. 弧度制 角度制 区别 联系 无论弧度制还是角度制， 角的大小都是一个与半径大小无关的定值 弧度制以线段长度来度量角 角度制是“以角量角” 弧度制是十进制 角度制是六十进制 1弧度是等于半径长的弧 所对的圆心角的大小 1°的角是周角的 问题4：按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？ 弧度与角度如何互化呢？ 答：因为半径为r的圆周长为2πr，所以圆周的弧度数是 ， 于是360°=2π rad. 180°=π rad 角度与弧度的互化 思考：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？ 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱， 正确的表示方法应为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}． 例1 用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 解:330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－， 而75°＝75×＝， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}． 归纳总结 1．终边相同的角 若α与β的终边相同，则β＝2kπ＋ α(k∈Z)，前后单位要一致． 2．象限角 第一象限角的集合：{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}； 第二象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}； 第三象限角的集合：{α|2kπ＋π<α<2kπ＋， k∈Z}； 第四象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋2π， k∈Z}． 常用角的弧度数表示 一些特殊角与弧度数的对应关系 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 0 π 2π 例2 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． 解:(1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限． α1＝－570°＝－＝－4π＋， α2＝750°＝＝4π＋. ∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)， 由－720°≤θ<0°，得 ... ...
