2024-2025学年天津二十中高二（上）第三次学情调研数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角是( ) A. B. C. D. 2.设、、，则的中点到点的距离为( ) A. B. C. D. 3.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 4.空间四边形中，若向量，点，分别为线段，的中点，则的坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则 A. B. C. D. 6.已知双曲线：的离心率为，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为( ) A. B. C. D. 7.若圆上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率( ) A. B. C. D. 9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图，把三片这样的达芬奇方砖形成图的组合，这个组合表达了图所示的几何体．如图中每个正方体的棱长为，则点到平面的距离是( ) A. B. C. D. 10.在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为( ) 四面体外接球的表面积为； 点与点之间的距离为； 四面体的体积为； 异面直线与所成的角为． A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 11.已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_____． 12.圆关于直线对称的圆的标准方程为 ． 13.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为_____． 14.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与成角的余弦值是_____． 15.若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则 ． 16.已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为_____． 17.是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为，则 _____． 18.已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ． 三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． Ⅰ求证：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 20.本小题分 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：平面； 在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21.本小题分 已知椭圆：． 求椭圆的离心率； 若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆上异于顶点的一点，点满足． 若点的坐标为，求椭圆的方程； 设过点的一条直线交椭圆于，两点，且，直线，的斜率之积为，求实数的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.Ⅰ证明：连接交于点，连接， 在正方形中，． 因为为的中点， 所以 因为平面，平面， 所以平面． Ⅱ解：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以所以即 令，则，， 于是． 设直线与平面所成角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20.证明：因为四棱锥的底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以，， 所以，且． 所以，，且，平面，平面， 所以平面． 解：假设在线段上存在点，使得平面， 设， 则， 因为平面，平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面其中． 21.解：由椭圆：，得． ，则， ； 由 ... ...
