6.1.5 向量的线性运算 课件（共18张PPT） 2024-2025学年人教B版高中数学必修第二册

(课件网) 第六章 6.1.5 向量的线性运算 1.掌握向量加法与数乘向量混合运算的运算律. 2.理解向量线性运算的定义及运算法则. 3.能利用向量的线性运算解决简单问题. 知识点一　数乘向量的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a) λ(a－b)＝λa－λb 知识点二　向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算． 点拨：向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．[－(2)]＋(6)可以简单地写成－2＋6. 题型1　向量的线性运算[经典例题] 例1　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c). (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求＋(2b－a). 【解析】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b． ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c． (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝（）a＋（）b＝－a＋b＝－ (3i＋2j)＋ (2i－j)＝（）i＋（）j＝－i－5j． 点拨：(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)对于向量的线性运算，关键是把握运算顺序，即先根据运算律去括号，再进行数乘运算，最后进行向量的加减． 方法归纳 向量线性运算的基本方法 (1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 题型2　向量线性运算的应用[教材P149例3] 例2　如图所示，已知＝，＝，求证：＝. 【解析】　由已知得 ＝－＝－＝ (－)＝. 教材反思 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (4)A，P，B三点共线 ＝(1－t)＋t (O为平面内任一点，t∈R). (5)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 变式：(1)设m，n是两个不共线的向量，若＝m＋5n，＝－2m＋8n，＝4m＋2n，则(　　) A．A，B，D三点共线　　B．A，B，C三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：(1)因为＝＋＝2m＋10n＝2，且与有公共点B，故A，B，D三点共线． A (2)若a，b是两个不共线的向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_____. 解析：因为A，B，D三点共线，所以向量与向量共线，所以＝λ，由＝a＋b，＝2a－b，得＝＋＝3a，所以2a＋kb＝λ(3a)，所以k＝0. 0 归纳：　 (1)若一个向量可以由另一个非零向量线性表示，则可以判断两个向量共线； (2)若两个向量共线，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示． 1.化简：＝(　　) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b 解析：原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)]＝ (－3a＋6b)＝2b－a，选B. B 2．下列式子不能化简为的是(　　) A．＋－ B．(＋)＋(＋) C．(＋)＋ D．－＋ 解析：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝，(＋)＋＝＋＋＝，－＋＝＋＝，故B、C、D中的式子都能化简为，只有A项，＋－＝2＋，化简结果不是. A 3．化简：－＋－＋＝_____． 解析：原式＝＋＋＝. 4.如图所示，在 ABCD中，E ... ...