延安中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.1 一、填空题（本大题满分39分）本大题共有13题，每题3分． 1．若过点、的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为_____． 2．已知直线与直线垂直，且经过点，则直线的方程为_____． 3．已知圆，直线被圆截得的弦长为_____． 4．直线与的夹角为_____． 5．已知点、，为线段上一点，若，则点的坐标 为_____． 6．已知一正方体的表面积为24，若球与此正方体的各个面均相切，则该球的体积是_____. 7．已知，若点是直线上的任意一点，则的最小值为_____. 8．已知两条平行直线，间的距离为，则_____． 9．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是_____． 10．已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为_____． 11．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则_____． 12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是_____． 13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是_____． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分． 14．如图，在长方体中，为棱的中点．若，，，则等于（ ）. A． B． C． D． 15．设，，向量，，，且，， 则（ ）. A． B． C．2 D．8 16．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）. A． B． C． D． 17．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等 于（ ）. A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分49分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 18．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5cm， （1）求该组合体的体积；（4分） （2）求该组合体的表面积．（4分） 19．如图所示，平行六面体中，,，，． （1）用向量，，表示向量，并求；（4分） （2）求．（4分） 20．在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点坐标；（4分） （2）求直线的方程．（4分） 21．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点． （1）求证：平面；（4分） （2）求二面角的正弦值；（5分） （3）求点到平面的距离．（4分） 22．已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围；（4分） （2）若直线与圆交于、两点，且，求实数的值；（4分） （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标．（4分） 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 13. 12．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使三点共线的的值是_____． 【答案】 【解析】∵为中点，为的中点， 三点共线，故答案为：． 13．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是_____． 【答案】 【解析】如图，七面体为正方体截去三棱棱的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则， 设球心，故 设平面的法向量为，则有，可取， 则球心到平面的距离为 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切，所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．故答案为：． 二、选择题 14.A 15.B 16. 17.A 17．在等腰直角中，，点是边上异于端 ... ...
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