5.2.2 导数的四则运算法则（同步检测）（含解析）—2024-2025学年高二下学期数学选择性必修第二册（人教A版(2019））

5.2.2　导数的四则运算法则（同步检测） 一、选择题 1.已知f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，若f′(－1)＝5，则a的值是(　　) A.1　　 B.－1　　 C.2　　 D.－2 2.已知f(x)＝cos x＋2x，则f′(x)＝(　　) A.－sin x＋x·2x－1 B.sin x＋x·2x－1 C.－sin x＋2x ln 2 D.sin x＋2x ln 2 3.曲线y＝xex在x＝1处切线的斜率等于(　　) A.2e B.e C.2 D.1 4.曲线y＝x3－2x＋3在点处的切线的倾斜角为(　　) A.　　 B.　 C.π　 D.π 5.已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　) A.3　　 B.2　　 C.1　　 D. 6.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　) 7.曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A.3 B.2 C. D. 8.(多选)下列运算中正确的是(　　) A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C.＝ D.(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′·sin x 9.(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0．若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的有(　　) A.f(1)＝1 B.f′(1)＝1 C.f(x)＝x2＋ D.g′(1)＝ 二、填空题 10.已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为_____ 11.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为_____ 12.过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为_____ 13.直线l经过点，且与曲线y＝x2(x＋1)相切，写出l的一个方程_____ 三、解答题 14.已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系． 15.求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝xnex； (3)y＝sin4＋cos4； (4)y＝． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：因为f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，所以f′(x)＝9ax2＋4ax，则f′(－1)＝9a－4a＝5，解得a＝1． 2.C 解析：由f(x)＝cos x＋2x，得f′(x)＝－sin x＋2xln 2．故选C． 3.A 解析：y′＝ex＋xex，y′|x＝1＝e＋e＝2e． 4.D 解析：根据题意，设曲线y＝x3－2x＋3在该点处切线的倾斜角为θ，因为曲线方程为y＝x3－2x＋3，所以其导数y′＝x2－2，则有y′|x＝1＝1－2＝－1，则切线的斜率k＝－1，则有tan θ＝－1，故θ＝．故选D． 5.A 解析：设该切点的坐标为(x0，y0)(x0＞0)，∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，∴y′＝－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3． 6.A 解析：∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x， ∴f′(x)＝x－sin x．易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f′＝－<0，排除C，故选A. 7.D 解析：由题意知，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2.又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为，.故所求三角形的面积为××＝. 8.AD　解析：A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，＝，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD． 9.AD 解析：由题意知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；由题意得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD． 二、填空题 10.答案：8 解析：∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴ f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4．又∵a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时取等号． 11.答案：－1 解 ... ...