选修4-4 第一讲 A组 基础巩固 一、选择题 1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为( ) A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D．＋＝1 [答案] A 2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为( ) A．(x＋)2＋y2＝ B．x2＋(y＋)2＝ C．x2＋(y－)2＝ D．(x－)2＋y2＝ [答案] D [解析] 由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D. 3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 [答案] C 4．设点M的直角坐标为(－1，－)，则它的极坐标为( ) A．(2，) B．(2，) C．(2，) D．(2，) [答案] C 5．(2015·北京西城一模)在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程是( ) A．ρ＝0 B．θ＝ C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2 [答案] D [解析] 极坐标为(2，)的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2，故选D. 6．(2015·北京海淀期末练习)下列极坐标方程表示圆的是( ) A．ρ＝1 B．θ＝ C．ρsinθ＝1 D．ρ(sinθ＋cosθ)＝1 [答案] A [解析] ρ＝1化为直角坐标方程为x2＋y2＝1，表示圆心在原点，半径为1的圆，故A正确；θ＝化为直角坐标方程为x＝0(y≥0)，表示射线，故B不正确；ρsinθ＝1化为直角坐标方程为y＝1，表示直线，故C不正确；ρ(sinθ＋cosθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，表示直线，故D不正确． 二、填空题 7．(2015·湖南)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为_____. [答案] x2＋y2－2y＝0 [解析] 两边同乘以ρ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2＝2y，故曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0. 8．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为_____. [答案] 1 [解析] 点(2，)的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1. 9．(2015·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是_____. [答案] 6 [解析] 圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则tanθ＝，化为直角坐标方程为x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6. 三、解答题 10．(2015·江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径. [答案] [解析] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy. 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ(sinθ－cosθ)－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0. 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圆C的半径为. 11．(2015·海南中学5月月考)已知曲线C：x2＋y2＝1，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′；以直角坐标系中原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρ(2cosθ＋sinθ)＝10. (1)写出曲线C′和直线l的普通方程； (2)求曲线C′上的点M到直线l的距离的最大值及此时点M的坐标． [答案] (1)＋＝1,2x＋y－10＝0 (2)3 M(－，－) [解析] (1)C′：＋＝1，l：2x＋y－10＝0. (2)设曲线C′上的点M(2cosφ，3sinφ)，则 d＝＝. 当sin(φ＋φ0)＝－1时，d取最大值3，即距离的最大值为3，此时点M的坐标为(－，－)． 12．(2015·济宁模拟)已知直线l：ρsin(θ－)＝4和圆C：ρ＝2kcos(θ＋)(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标. [答案] k＝－1，C(－，) [解析] ∵ ... ...
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