第二章 圆锥曲线 单元测试（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 单元测试 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．已知是椭圆上的点，则的值可能是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为F，的中点为M，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若已知过点且与椭圆相切的切线方程为，垂直于直线且与轴交于点，若为的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 6．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段的垂直平分线恰好过右焦点，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D．2 二、多选题 7．过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ） A．周长的最小值为18 B．四边形可能为矩形 C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D．的最小值为-1 8．法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 三、填空题 9．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为 . 10．已知抛物线，点和为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点为直角顶点，则直线与直线的交点坐标为 ． 11．设曲线上的动点与定点的距离和点到定直线的距离的比为.倾斜角为的直线经过点与曲线交于两点（点位于轴上方），则 . 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为3，则C的长轴长的最小值为 ． 四、解答题 13．已知椭圆的离心率为，且过点．若斜率为的直线与椭圆相切于点，过直线上异于点的一点，作斜率为的直线与椭圆交于两点，定义为点处的切割比，记为． (1)求的方程； (2)证明：与点的坐标无关； (3)若，且（为坐标原点），则当时，求直线的方程． 14．已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程． (2)已知点，不过点的直线与曲线交于M，N两点，以线段为直径的圆恒过点，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 15．已知双曲线的右顶点为，双曲线的左 右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值. 16．已知椭圆的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明为定值，并求出该定值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C A A AC BD 1．A 【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 2．D 【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案. 【详解】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 3 ... ...