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课件网) 1.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 复习巩固 平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= . p2－2p+1 （4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= . m2－4m+4 计算：（x+y) . 由多项式与多项式相乘的法则可得 （x+y） =（x+y）（x+y） = x + xy + yx + y = x + 2xy + y . 于是得到了完全平方公式 1： （x+y） = x + 2xy + y2 . 即多项式 x + y 的平方等于 x 与 y 的平方和加上 x 与 y 的积的 2 倍. 若将完全平方公式 1 中的 y 用 –y 代替，则可得 （x-y） = x + 2x·（-y）+（-y） = x - 2xy + y . 于是得到了完全平方公式 2： （x-y）2 = x - 2xy + y . 即多项式 x-y 的平方等于 x 与 y 的平方和减去 x 与 y 的积的 2 倍. 设 a，b 都是正数， 将完全平方公式 1 中的 x 用 a 代入，y 用 b 代入，可得 （a+b） = a + 2ab + b . 如图，把一个边长为 a+b 的正方形分割成四部分， 这四部分的面积分别为 ab，b ，a ，ba， 于是（a+b） = ab + b + a + ba = a + 2ab + b . 实质上，这就是完全平方公式 1 的几何背景. 几何解释: （a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： a a b b = + + + a2 ab ab b2 a2 ab b(a b) =a2 2ab+b2 . = (a b)2 a b a b a a ab b(a b) b b (a b)2 几何解释: （a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间” 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 例5 运用完全平方公式计算： （1）（a+）2； （2）（3m+n）2； （3）（2x-3y）2. 解（1）将完全平方公式 1 中的 x 用 a 代入，y 用 代入，可得 （a + ）2 = a + 2·a· +（）2 = a + a + . （2）将完全平方公式 1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得 （3m+n）2 =（3m）2 + 2·3m·n + n2 = 9m + 6mn + n . （3）将完全平方公式 2 中的 x 用 2x 代替，y 用 3y 代替，可得 （2x-3y） =（2x） - 2·2x·3y +（3y） = 4x - 12xy + 9y . 填表： 有了完全平方公式，x，y分别用任何数代入，或者用任意多项式代入，从完全平方公式可以得到许多有关数或多项式的等式. 算式 与公式中x对应的项 与公式中y对应的项 计算结果 （2a+b）2 （5a-4b）2 2a b 5a 4b 4a2+b2+4ab 25a2+16b2-40ab 运用完全平方公式计算： 解: (2x－3)2= =4x2 (1)(2x－3)2； ( a－ b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2 －2 (2x) 3 +32 －12x +9； (a + b)2= a2 + 2ab + b2 y2 (2) ( y+ )2. =y2 + y + + ( )2 + 2 y 解：( y+ )2 = 运用完全平方 ... ...
