2.3 从速度的倍数到向量的数乘 学案 (原卷版+解析版)

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3.1　向量的数乘运算 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 学习目标 1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义,发展直观想象和逻辑推理的核心素养. 2.了解向量数乘运算的运算律,提升数学运算的核心素养. 3.理解共线(平行)向量基本定理,提升数学运算和逻辑推理的核心素养. 知识探究 知识点1　向量的数乘运算 　(1)数乘运算的定义. 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件: ①当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同; 当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反; 当λ=0时,0a=0. ②|λa|=|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘. (2)数乘运算的运算律. 设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律: ①(λ+μ)a=λa+μa; ②λ(μa)=(λμ)a; ③λ(a+b)=λa+λb. (3)向量的线性运算. 向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得出,则称向量c可以用向量a,b线性表示. (4)单位向量:在非零向量a方向上的单位向量是. (1)关于λa的理解 ①数乘运算定义的实质. (ⅰ)条件:一个实数与一个向量相乘. (ⅱ)结论:结果为一个向量,其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积,其方向与实数的正负有关. ②从两个角度看数乘运算. (ⅰ)代数角度: a.λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量; b.λa=0的条件是λ=0或a=0. (ⅱ)几何角度: a.当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到|a|的|λ|倍; b.当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|倍. (2)对数乘运算的运算律的两点说明 ①数乘运算的运算律满足的条件:三种运算律中的λ与μ都是实数. ②实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算. 知识点2　共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使a=λb. [思考] 在共线(平行)向量基本定理中,为什么要求b≠0 提示:若b=0,当a≠0时不存在实数λ;若b=0,且a=0时实数λ可以有无数个值. 在共线(平行)向量基本定理中 (1)a=λb通常称为a能用b表示. (2)其中的“唯一”指的是,如果还有a=μb,则有λ=μ. [做一做] 若|a|=1,|b|=2,且a与b方向相同,则下列关系式正确的是(　　) A.b=2a B.b=-2a C.a=2b D.a=-2b 探究点一　数乘运算在几何中应用 [例1] 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则等于(　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 由平面图形中的已知向量表示未知向量的方法 用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联合三角形法则以及向量加法、减法和数乘以及几何图形的性质、定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,其实质是向量线性运算的反复应用. [针对训练] (多选题)在△ABC中,D在AB边上,=2,E是CD的中点,则(　　) A.=- B.=+ C.=+ D.=2-3 探究点二　向量的线性运算 [例2] (1)化简下列各式. ①(-3)×4a; ②3(a+b)-2(a-b)-a; ③(2a+3b-c)-(3a-2b+c); ④(2λ-μ)a-λa-(λ-μ)(a-b)(λ,μ为实数). (2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,且向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用a,b表示x,y. 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算. 易错警示:由于向量的线性运算的结果是一个向量,因此涉及结果为零向量时,要将结果写为0 ... ...