§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 学习目标 1.会用向量方法推导余弦、正弦定理,通过余弦、正弦定理的推导过程提高逻辑推理、数学抽象的核心素养. 2.掌握用余弦、正弦定理解三角形问题,培养数学运算、数学抽象的核心素养. 3.通过用余弦、正弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题,增强数学建模与数学运算的核心素养. 第1课时 余弦定理 知识探究 知识点1 余弦定理 条件 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c 文字表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 公式表达 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C 变形 cos A=, cos B=, cos C= [思考1] 余弦定理与勾股定理的关系是什么 提示:余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. [思考2] 在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形吗 请简要说明. 提示:在△ABC中,由a2>b2+c2可得cos A<0,因此角A一定是钝角,所以△ABC是钝角三角形. 知识点2 三角形的面积公式 任意三角形的面积等于其两边及其夹角正弦乘积的二分之一,即S=bcsin A=acsin B=absin C. (1)余弦定理的特点. ①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. (2)解三角形. ①一般地,三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫作三角形的元素. ②已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. (3)判断三角形的形状时经常用到以下结论. ①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. ②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2. ③△ABC为钝角三角形 a2+b2
0,所以b+c=6.又a=4,所以a+b+c=10. 故选D. 角度2 利用余弦定理判断三角形的形状 [例2] (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“=”是“△ABC是等腰三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)在△ABC中,若-=·,则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析:(1)在△ABC中,由=,结合余弦定理,得a·=b·,整理得a2c2-a4=b2c2-b4,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则a=b或a2+b2=c2,△ABC为等腰三角形或直角三角形,即“=”不能推出“△ABC是等腰三角形”,而△ABC为等腰三角形,不能确定哪两 ... ... 