第2课时 正弦定理 知识探究 知识点 正弦定理 语言表述 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 符号表示 == 比值的 含义 ===2R(其中R为△ABC的外接圆半径) 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系 [思考1] 若R为△ABC的外接圆半径,那么 的值与R的关系是什么 提示:=2R. [思考2] 在△ABC中,若已知a>b,能否利用正弦定理得到sin A>sin B 请简要说明. 提示:能得到,由a>b,且a=2Rsin A,b=2Rsin B,可得2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B,其中R为△ABC的外接圆半径. [做一做1] 在△ABC中,a=7,c=5,则sin A∶sin C的值是( ) A. B. C. D. [做一做2] 已知△ABC外接圆半径R=2,A=60°,则BC的长为 . 探究点一 已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中,A=60°,B=75°,a=2,求△ABC中最小的边长. 已知两角及一边解三角形问题的解题方法 (1)当所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)当所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. [针对训练] 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(A+B)=,sin B=,b=3,则c= . 探究点二 已知两边及其中一边的对角解 三角形 [例2] 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形.(sin 75°=,sin 15°=) [变式探究] 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值,如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角. (2)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 探究点三 三角形解的个数的判断 [例3] 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80°; (2)a=2,b=6,A=30°. 三角形解的个数的判断方法 在△ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的情况,一般可根据三角形中大边对大角和三角形内角和定理来取舍. 在△ABC中,已知a,b和A时,具体解的情况如下表: 角的 类型 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系 式 a=bsin A bsin A
b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 上表中,若A为锐角,则当a