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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 §5.1.1 变化率问题1 人民教育-出卷网- 高中数学 选择性必修第二册 章引言 章引言 章引言 微积分 章引言 微积分 本章框架 函数的极值与最值 函数的单调性 简单复合函数导数 导数四则运算 基本初等函数导数 导数几何意义 导数的概念 割线斜率 切线斜率 平均速度 瞬时速度 导数及其应用 导数的概念及意义 导数的运算 导数的应用 情景引入 高铁轨道弯道设计 卫星发射的运行轨迹 光的反射 切线 问题1 你能运用所学知识求抛物线 f(x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线方程吗？并画出该切线 新知探索1 f(x)＝x2 x y O 1 1 2 2 3 4 P0 y=2x-1 抛物线的切线 公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中将圆的切线定义为“与圆相遇，但延长后不与圆相交的切线” 新知探索1 d 抛物线的切线 思考1 此定义适用于圆锥曲线的切线吗？ f(x)＝x2 x y O 1 1 2 2 3 4 P0 新知探索1 思考2 什么定义适用于圆锥曲线的切线？ 古希腊著名数学家阿波罗尼斯定义了圆锥曲线的切线为与曲线只有一个公共点，且位于曲线的一侧（“不穿过”曲线）的直线. 抛物线的切线 y=x3 思考3 什么定义适用于一般曲线的切线？ 新知探索1 抛物线的切线 问题2 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？ 新知探索1 x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 抛物线的切线 问题2 对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？ 新知探索1 x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 P (x，x2) 抛物线的切线 新知探索1 当点P_____于点P0时， 割线P0P_____于一个确定的 位置.这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1) 处的切线． 无限趋近 无限趋近 y O P0 P 割线 x T 切线 抛物线的切线 新知探索1 当点P_____于点P0时， 割线P0P_____于一个 确定的位置.这个确定位置 的直线P0T称为抛物线 f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 无限趋近 无限趋近 静态 动态 抛物线的切线 新知探索2 问题3 如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？ 切线位置 割线位置 无限趋近 切线斜率 割线斜率 无限趋近 抛物线的切线的斜率 新知探索2 切线位置 割线位置 无限趋近 切线斜率 割线斜率 无限趋近 1 2 3 4 P0(1，1) P f(x)＝x2 y x O 1 2 记Δx=x-1（Δx可正可负，但不能为0），则点P的坐标即为(1＋Δx，f(1＋Δx)).于是割线P0P的斜率 (1＋Δx，(1＋Δx)2) (x，x2) 抛物线的切线的斜率 新知探索2 x <0 x x >0 x 当 x无限趋近于0，割线P0P的斜率k都无限趋近于2. 0 2 2 0 抛物线的切线的斜率 新知探索2 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记为 当 x在无限趋近于0时， 无限趋近于2 因此，切线P0T的斜率k0＝2． 抛物线的切线的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P0(2,4) 记点P的横坐标 x=2+Δx，则点P的坐标即为 (2+Δx,f(2+Δx) ).于是割线P0P 的斜率 故抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率为4. 例1 你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率吗？ P 典例分析 (x，x2) x y O 1 2 1 2 3 4 P0(x0, x02) 记点P的横坐标 x= x0+Δx，则点P的坐标即为 (x0 +Δx,f(x0 +Δx)).于是割线P0P 的斜率 故抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率为2x0. 变式：一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率呢？ P 总结：求抛物线在点p0(x0,f(x0)处切线的斜率，一般步骤： (1) 先求割线的斜率； (2) 再对割线的斜率取极限得切线的斜率。 典例分析 切线的斜率是割线的斜率的极限 用运动变化的观点研究问题 无限逼近 取极限 极限思想 切线的定义 切线的斜率 割线的斜率 特殊到一般 用数学的眼光观察世界 用数学的语言表达世 ... ...
