第04讲 单位圆与三角函数线 课程标准 学习目标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 知识点01 正弦线与余弦线 1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图， 则，，，则角的终边与单位圆的交点为 2、三角函数线综合图示 （1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为； （2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。 3、正弦线的定义：为角的正弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 4、余弦线的定义：为角的余弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ） A．正弦线为，正切线为 B．正弦线为，正切线为 C．正弦线为，正切线为 D．正弦线为，正切线为 【答案】D 【分析】根据三角函数线的定义得到答案. 【详解】角在第三象限，故正弦线为，正切线为. 知识点02 正切线 1、正切线的定义：为角的正切线 当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。 2、三角函数线的特征 （1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外； （2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点； （3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”； （4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为 【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（ ） A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据角和角的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案. 【详解】因为，可知角和角的终边互为反向延长线， 即两个角的终边在同一条直线上，设为直线， 因此，过点作单位圆的切线，与直线有且只有一个交点， 可得，都等于有向线段的长，即两角有相同的正切线. 题型01 三角函数线的作法 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可. 【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. （2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线； （3）在上，和终边相同的角是，再作出正弦线即可. 【详解】（1）如图所示，正弦线为 （2）如图所示，正弦线为 （3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 题型02 利用三角函数线比较大小 ... ...
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