第五章 数列（B卷能力提升） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知数列为等差数列，且满足，，则的值为( ) A.2033 B.2123 C.123 D.0 2.已知数列满足，则( ) A. B. C. D. 3.已知在数列中，（且），设为的前n项和.若，则( ) A.8 B.12 C.16 D.36 4.已知等比数列的各项均为正数，且，，则使得成立的正整数n的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 5.某公司为庆祝公司成立九周年，特意制作了两个热气球，在气球上写着“九年耕枟，硕果累累”8个字.已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到70米高度至少要经过( ) A.3分钟 B.4分钟 C.5分钟 D.6分钟 6.若对于数列，，都有（t为常数）成立，则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知在无穷数列中，，，…，是首项为10，公差为-2的等差数列，，，…，是首项为，公比为的等比数列（，），对任意，均有成立.若，则m的所有可能取值的个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.设是等比数列的前n项和，若，，则( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为.下列说法正确的是（） A.数列为等差数列 B.若，，则 C.数列为等比数列 D.若，则数列的公比为2 10.已知数列，下列结论正确的有( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，则数列是等比数列 D.若，，则 11.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，数列的前n项和为，则 D.若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知数列的前n项和为，若，则_____. 13.记为等差数列的前n项和，若，，则_____. 14.已知各项都为整数的数列中，，且对于任意的，满足，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知是首项为1的等比数列，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前n项和. 16.（15分）在数列中，且. （1）证明：是等差数列. （2）设的前n项和为，证明：. 17.（15分）已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列， （1）证明：数列是等比数列. （2）求和的通项公式. （3）在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前60项的和. 18.（17分）已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，若存在，使，求实数m的取值范围. 19.（17分）定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”. (1)已知为“线性数列”，且，，，，证明：数列为等比数列. (2)已知. (i)证明：数列为“线性数列”. (ii)记，数列的前n项和为，证明：. 答案以及解析 1.答案：D 解析：设等差数列的公差为d，则，所以，故选D. 2.答案：D 解析：①，当时，②，则①-②得，，故.当时，，也符合，故选D. 3.答案：B 解析：在数列中，（且），（且），数列是公差的等差数列.为的前n项和，，，解得，. 4.答案：C 解析：设等比数列的公比为q，，且. 由题意得两式相除得，则，所以，故.显然当时，不成立，所以且，则，即，则，故正整数n的最小值为10.故选C. 5.答案：B 解析：设表示热气球在第n分钟内上升的高度，由题意可得（，），.所以前n分钟热气球上升的总高度，因为，所以数列为单调递增数列，又，，所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米高度，故选B. 6.答案：C 解析：依题意，得，故，.因为，所以，整理得.令，则对任意的恒成立，所以数列为 ... ...
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