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课件网) 10.3 三角形的角平分线、中线和高线 第十章 三角形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 知识点 三角形的角平分线 知1－讲 1 定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线. 几何语言：如图1 0 .3 -1， (1) AD 是△ ABC 的角平分线； (2) AD 平分∠ BAC 交BC 于点D； (3) ∠ BAD= ∠ CAD=∠ BAC. 知1－讲 特别提醒 1. 角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. 2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分. 故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. 如图10.3-2，AD 是△ ABC 的角平分线，DE ∥ AB，交AC 于点E，DF ∥ AC，交AB 于点F，EF 交AD 于点O.DO是否为△ DEF 的角平分线？请说明理由. 例 1 知1－练 考向：利用角平分线的定义说明三角形的角平分线 解：DO 是△ DEF 的角平分线. 理由如下： 因为AD 是△ ABC 的角平分线， 所以∠ 1 = ∠ 2 . 因为DE ∥ AB，DF ∥ AC， 所以∠ 3 = ∠ 2，∠ 1 = ∠ 4 . 所以∠ 3 = ∠ 4 . 所以DO 是△ DEF 的角平分线. 解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明. 知1－练 解法提醒 本题在解题过程中，先利用三角形的角平分线的定义，得出相等的角, 再结合相关条件推出一组新的相等的角，最后由三角形角平分线的定义说明其是三角形的角平分线. 知1－练 知2－讲 知识点 三角形的中线 2 1. 定义 连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 几何语言：如图1 0 .3 -3， (1)AD 是△ ABC 中BC 边上的中线； (2) D 是BC 边的中点； (3) BD=DC= BC. 知2－讲 2. 三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫作三角形的重心（如图1 0 .3 -4 中的点O），重心在三角形内部. 特别解读 三角形的中线把三角形分成的两个三角形的面积之间的关系和周长之间的关系： 1. 两个三角形的面积相等； 2. 两个三角形的周长的差等于未被中线平分的另两边长度的差. 知2－讲 知2－练 如图10.3-5，在△ ABC 中(AB>AC)，AD，BE 分别是△ ABC，△ ABD 的中线. (1)若△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3， AB=8，求AC 的长； (2)若S △ ABC =8，求S △ ABE. 例 2 考向：利用三角形中线的性质进行相关计算 知2－练 解：(1)∵ AD 为BC 边上的中线，∴ BD=CD， ∴ △ ABD 与△ ADC 的周长之差=(AB+AD+BD)- (AC+AD+CD)=AB-AC. ∵△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8， ∴ 8 -AC=3，∴ AC=5 . 解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 知2－练 (2)因为AD 是△ ABC 的中线，∴ S △ ABD=S△ ABC=4 . ∵ BE 是△ ABD 的中线，∴ S △ ABE=S △ ABD =2 . 知2－练 详解 三角形的中线把边BC分成相等的两条线段，故BD=CD，且△ ABD 的边BD 上的高与△ ACD的边CD 上的高相同，根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个三角形的面积相等，即S△ ABD= S△ ADC= S△ ABC. 知3－讲 知识点 三角形的高 3 1. 三角形的高的定义和性质 定义 三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 图形 知3－讲 续表 性质 因为AD 是△ ABC 的边BC 上的高(已知)，所以 AD ⊥ BC(或∠ ADB= ∠ ADC=90°) 判定 因为AD⊥ BC 于点D(或∠ ADB= ∠ADC=90°) (已知)，所以线段AD 是△ ABC 的边BC 上的高 (高的定义) 知3－讲 特别提醒 找三角形某边上的高的方法： 1.找出该边所对的顶点; 2.过此顶点作该边的垂线，垂线段为该边上的高. 知3－讲 2. 三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 垂心 直角三角 ... ...
