高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.1.1等式的性质与方程的解(5知识点+5题型+巩固训练)-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练(人教B版2019必修第一册)(学生版+解析)

2.1.1 等式的性质与方程的解 课程标准 学习目标 1.掌握等式的性质并会应用； 2.掌握几个重要的恒等式 3.会用十字相乘法进行因式分解； 4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程； 2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法； 知识点01等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c； (2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc. 【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 则，，故B选项正确，ACD选项错误.. 知识点02 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A，只有时，等式不成立，故不是恒等式，A错； 选项B，对任意不成立，B对； 选项C，只有时，等式不成立，故不是恒等式，C错； 选项D，，故不是恒等式，D错 知识点03十字相乘法 对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行． 注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）=； （2）=； 知识点04 方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程． 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值 【解析】由，得， 因为关于的方程的解集为， 所以，得， 知识点05 一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0). 【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于的方程的解集，其中是常数. 【答案】见解析 【解析】对分三种情况进行讨论，即或或，. 【详解】当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，时，方程的解集为. 【点睛】本题考查一元一次方程解的讨论，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性. 难点：因式分解法解一元二次方程 求方程x2－5x＋60的解集． 【解析】因为x2－5x＋6(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)0，从而可知x－20或x－ ... ...