高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.2.1不等式及其性质(4知识点+4题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.2.1 不等式及其性质 课程标准 学习目标 1、掌握不等式5个性质与5个推论. 2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式. 3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式. 掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 灵活选用不等式5个性质与5个推论。 知识点01不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立. 【答案】，证明见解析 【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可. 【详解】解： . 证明: ， ，，. 知识点02实数大小比较 符号表示 a－b>0 a>b， a－b0 ab， a－b<0 ab，那么a＋c>b＋c. 性质2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么acb，b>c，那么a>c. 注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc. 推论1(移项法则)　如果a＋b>c，那么a>c－b. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 我们把a>b和c>d(或ab>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果a>b>0，那么>. 注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c－d，又a>b，所以a－c>b－d. 【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确， 若，则AB错误，若，C错误．． 【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围. 【答案】，， 【解析】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 知识点04综合法、分析法与反证法 （1）综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法． （2）分析法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法． （3）反证法 首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． 注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要 ... ...