第35届日本数学奥林匹克(JMO) (2025年2月11日) 时长：4小时. 分值：每题8分，满分40分。 1。设整数n≥2.实数a1,a2,…,a2n满足对任意整数k(1≤k≤n),都有a%-an+k≥1， 求表达式 (a1-a2)2+(a2-a3)2+…+(a2n-1-a2n)2+(a2nm-a1)2 的最小可能值 2,已知锐角三角形ABC的外心为O.三角形AB0和AC0的外心分别为O1和O.三 角形AO1O2的外接圆与边BC交于两个不同的点P,Q,且四点按B,P,Q,C的顺序排列.设 三角形OPQ的外心为O3,证明：A,O,O3三点共线 02 B 03 3。设n为正整数，整数三元组序列(c1,h,),(c2,2,2,…,(c,,2n)满足：对于任意 由1到100之间的整数构成的数列a1,a2,·一定存在正整数i和1到n之间的整数j,使 得(a,a+1,a+2）=(xj,,之).求n的最小可能值. 4。求所有的整数系数多项式f(x),使得对任意整数n≥2，以下两个结论均成立： (1)f(n)>0. (2)f(n)整除nfm)-1. 5。设ABC是一个非等腰的锐角三角形，在其内部存在不同的三个点A1,B1,C1,满足AB1: CB=AB:CB,AC:BC1=AC:BC. 设点A2是A1关于直线BC的对称点，点B2是B1关于直线AC的对称点.点C2是 C1关于直线AB的对称点.已知它们满足以下条件： (1)A,A2,B,C2四点共圆， (2)A,A2,B2,C四点共圆， (3)B,B2,C,C2四点共圆， (4)A2,B2,C2三点均不在三角形ABC的外接圆上. 证明：三角形A1B1C1与三角形A2B2C2相似.
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