10.1.1 两角和与差的余弦 ［学习目标］ 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值. 一、两角和与差的余弦公式 问题1 教材是怎样推出公式cos(α-β)的？ 问题2 如何由公式cos(α-β)得到公式cos(α+β)？ 知识梳理 1.两角差的余弦公式 cos(α-β)= .(C(α-β)) 2.两角和的余弦公式 cos(α+β)= .(C(α+β)) 例1 计算： (1)cos(-15°)； (2)cos 105°； (3)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°. 跟踪训练1 (1)cos 80°cos 35°+sin 80°cos 55°的值是( ) A. B.- C. D.- (2)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)·sin(α+25°)=. 二、给值求值 例2 已知sin α=，求cos(α-β)的值. 反思感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角. (2)在将所求角分解成某两角的和或差时，应注意如下变换：α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α=β-(β-α)，α=(2α-β)-(α-β)，α=［(β+α)-(β-α)］等. 跟踪训练2 已知sin α=-<β<π，求cos(α-β). 三、给值求角 例3 已知cos α=，求β的值. 跟踪训练3 若cos(α+β)=<α-β<π，求2β的值. 1.知识清单： (1)两角和与差的余弦公式. (2)已知三角函数值求值和求角. 2.方法归纳：换元法、转化与化归. 3.常见误区：忽略角所在的取值(从已给信息得出角α，β的正弦、余弦)范围导致出错. 1.cos 56°cos 26°+sin 56°cos 64°的值为( ) A. B.- C. D.- 2.cos(-75°)的值为( ) A. B. C. D. 3.cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)= . 4.已知cos(α+β)=，则cos αcos β= ，sin αsin β= . 答案精析 问题1 用向量的数量积，如图所示，只考虑0≤α-β≤π的情况， 设向量a==(cos α，sin α)，b= =(cos β，sin β)， 则a·b=|a||b|cos(α-β) =cos(α-β). 又由向量数量积的坐标表示，有 a·b=cos αcos β+sin αsin β， 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. 问题2 以-β代替公式cos(α-β)中的β，可以得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cos αcos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β. 知识梳理 1.cos αcos β+sin αsin β 2.cos αcos β-sin αsin β 例1 解 (1)方法一 原式=cos(30°-45°) =cos 30°cos 45°+sin 30°sin 45° =. 方法二 原式=cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° =. (2)原式=-cos 75°=-cos(45°+30°) =-(cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°) =-. (3)原式=cos(15°-105°) =cos(-90°)=cos 90°=0. 跟踪训练1 (1)A (2) 例2 解 ∵α∈， ∴cos α=-. 又β∈， ∴sin β=-. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β = =. 跟踪训练2 解 ∵sin α=-， π<α<， ∴cos α=-. 又∵sin β=<β<π， ∴cos β=-， ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =. 例3 解 ∵α，β∈， ∴α+β∈(0，π). ∵cos α=， ∴sin α=， sin(α+β)=. 又∵β=(α+β)-α， ∴cos β=cos［(α+β)-α］ =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =. 又∵β∈. 跟踪训练3 解 因为cos(α+β)=， 且<α+β<2π， 所以sin(α+β)=-. 因为sin(α-β)=<α-β<π， 所以cos(α-β)=-， 所以cos 2β=cos［(α+β)-(α-β)］ =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)·sin(α-β) ==-1. 又易得，所以2β=π. 随堂演练 1.C 2.C 3.(
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