第二章 圆锥曲线--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第二章 圆锥曲线--2024-2025学年高中数学北师大版选择性必修一单元测试 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知椭圆的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段的中点，若（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为( ) A. B. C. D. 2．双曲线的焦点坐标为，则( ) A.2 B.4 C. D.1 3．如图，双曲线的左 右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 4．已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，则( ) A. B. C.3 D.4 5．已知双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 6．已知双曲线的方程为,则该双曲线的离心率为( ) A.2 B. C. D. 7．已知抛物线的焦点为F,准线为l,点A在C上,过A作l的垂线,垂足为,若,则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 8．若双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则( ) A.或 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( ) A. B. C. D. 10．抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当点P运动到时，.直线l与抛物线相交于A，B两点，点，则( ) A.抛物线的方程为 B.存在直线l，使得A，B两点关于对称 C.的最小值为6 D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切 11．已知双曲线,则其离心率可能为( ) A.2 B. C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A,B.左、右焦点分别是,,在线段上有且只有一个点P满足,则椭圆的离心率的平方为_____. 13．已知双曲线的左焦点为F,右顶点为A,,若是直角三角形,则双曲线M的离心率为_____. 14．已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率_____. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点. (1)求椭圆E的标准方程； (2)当时，求直线l的方程 16．已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线于点E，且，.求证：为定值，并计算出该定值. 17．求满足下列条件的椭圆的标准方程: （1）焦点坐标分别为,,且经过点; （2）经过两点,. 18．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. （1）求抛物线C的方程; （2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程. 19．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为k的直线l与拋物线C仅有一个交点. （1）求抛物线C的方程； （2）求k的值. 参考答案 1．答案：D 解析：椭圆的左焦点为，， 过M作轴，垂足为，由， 得， ，有， 设，，则有， ， 由， 两式相减得， 则有， 所以. 故选：D 2．答案：A 解析：由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 3．答案：D 解析：设， 设、与的内切圆切于点P、Q， 由对称性可得内切圆圆心在y轴上， 结合切线长定理可得，， 则，即， 故，则， 因此，. 故选：D. 4．答案：A 解析：由题得，准线方程为，设， 根据对称性，不妨假设M点位于第一象限 ... ...