2.2 基本不等式 教学设计

基本不等式 教学目标： 1．探索并了解基本不等式的证明； 2．体会证明不等式的基本思想方法； 3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题。 教学重点：1.应用数形结合的思想理解基本不等式； 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程。 教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：情境教学法、讲授法、直观教学法 教学工具：多媒体 教学过程： 1、情景设置： （展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。 （展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。这个会标设计源于古代弦图。它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客。弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机,他的玄机当然不仅仅是像风车这么简单，今天咱们也来研究一下弦图。 二、引入新知： 问题一：请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形 它们在面积上有哪些相等关系和不等关系 有正方形和直角三角形；正方形ABCD的面积等于4个直角三角形的面积加上正方形EFGH的面积，即正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积之和。 如果令，那么，则正方形ABCD的面积，4个直角三角形的面积之和，故有。 问题二：它们有相等的时候吗？ (演示几何画板，学生观察，分析得出结果)。 我们可以得出当且仅当时，； 这其实就是一个从“形”到“数”的转化，运用了数学中非常重要的数形结合的思想方法。 故，当且仅当时，等号成立。 思考：同学们如何理解“当且仅当”？ 当时，等号成立； 仅当时，等号成立。 问题三：如果是任意实数，这个结论还成立吗？若成立，你能给出证明吗？ （学生自主完成） 证明： 当且仅当时，等号成立。 这是作差比较法，将得到的差值与零作比较。 因此我们可以得出结论1： 一般地，对于任意实数，我们有，当且仅当时，等号成立。 这是一个很重要的不等式，对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。 问题四：如果，用分别代替，结果如何？ 可得。 通常我们把上式写为 我们可以得出结论2： 基本不等式： 如果，则有，当且仅当时，等号成立。 思考：能否用不等式的性质进行证明？（学生活动） 证法一：作差比较法。 沿用问题三的证明过程，用分别代替可得出证明。 证法二：请同学们把以下证明过程补充完整： 要证 ① 只要证 ② 要证②,只要证 ③ 要证③,只要证 ④ 显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。 这种证明方法叫“分析法”，实际就是执果索因的思想方法。 同学们还有没有用不等式的性质证明这个不等式的其他方法？这个问题请大家在课后进行探讨。 我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，因此我们可以给出基本不等式的代数解释：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。 思考：能否用几何方法进行证明？ 思考：能否找出图中与和相关的线段 ？ 易知是直径，就是半径，比如半径DO=； 可知～，则半弦CD=； 显然半弦CD半径DO，故。 因此我们可以得出基本不等式的几何解释：半弦不大于半径。 或者认为是：直角三角形斜边上的高不大于斜边的一半。 除此以外你还可以想到基本不等式的其他解释吗？前面我们刚学了数列，和在数列中分别表示什么？ 分别表示正数的等差中项与等比中项。 因此，从数列的角度看：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 可以看出我们可以从不同的角度去理解基本不等式。 三、例题讲解、强化认知 学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？运用基本不等式的 ... ...