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课件网) 5.2.3简单复合函数的导数 学习目标 1.能由基本初等函数理解复合函数的定义. 2.能够将简单复合函数拆成两个初等函数. 3.能利用简单复合函数的导数公式结合导数的四则运算法则，求简单复合函数的导数. 复习旧知 函数类型 原函数f(x) 导函数f′(x) 常函数 f(x)＝c f′(x)＝ 幂函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝ 正弦函数 f(x)＝sinx f′(x)＝ 余弦函数 f(x)＝cosx f′(x)＝ 指数函数 f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ex f′(x)＝ 对数函数 f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ 1.基本初等函数的导数公式 0 nxn－1 cosx －sinx axlna ex 复习旧知 2. 导数的四则运算法则 (2)[f(x)·g(x)]′=_____ (1)[f(x)±g(x)]′=_____ 特别地，有[cf(x)]′=_____ f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) cf ′(x) 课题引入 我们一起来探究复合函数的求导法则吧！ 我们探究了基本初等函数进行加减乘除等多种形式的组合后的函数的导数公式；那么，对初等函数通过复合组合后的函数，又该如何求其导数，将是我们本节课要解决的内容. 基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数. ；；； 探究新知 问题1：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数. 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1). y通过中间变量u表示成x的函数. 追问：函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？ 讲授新知 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的 复合函数，记作y=f(g(x)). 复合函数的概念： 随堂练习 1. 指出以下函数是由哪些函数复合而成的？ (1)y＝log2(x＋1) (2)y＝(3x+5)3 (3)y＝e－0.05x＋1 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 随堂练习 2. (多选)下列哪些函数是复合函数 A.y＝log2(2x＋1) B.y＝ C.y＝2ln x D.y＝ √ √ √ 探究新知 问题2：如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数. y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x－sin2x]=2cos2x y′u =(sinu)′= cosu，u′x =(2x)′=2. 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x. 追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以 y′x 表示 y 对 x 的导数，以 y′u 表示 y 对 u 的导数，以 u′x 表示 u 对 x 的 导数，那么y′x与y′u及u′x有什么关系呢？ 讲授新知 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y′x＝y'u· u′x 结构特点 [f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x) 结果显示 讲授新知 回顾问题：如何求函数y=ln(2x－1)的导数？ 函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成 以y′u 表示对 u 求导，以u′x表示对x求导 因为y'u＝(lnu)'＝ ，u'x＝2， 所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 = 复合函数求导步骤：分解—求导—相乘—回代. 典例讲解 和； (2)和 和 例6 求出以下函数的导数： ； ; 解： 反思感悟 感悟提升 1、求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成关于自变量 ... ...
