北京市东城区景山学校2024-2025学年高二（上）期中数学试题（PDF版，含答案）

北京市东城区景山学校 2024-2025 学年高二（上）期中数学试题 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知点 (1,2,3)是法向量为 = (1,1,1)的平面 内的一点，则下列各点中，不在平面 内的是( ) A. (3,2,1) B. ( 2,5,4) C. ( 3,4,5) D. (2, 4,8) 2.过点 (3,2)且斜率为1的直线方程是( ) A. + + 1 = 0 B. + 1 = 0 C. + 1 = 0 D. 1 = 0 3.已知两条直线 1: + 4 1 = 0, 2: + + 2 = 0，则“ = 2”是“ 1// 2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知点 (2, 3)， ( 3, 2)，若过点(1,1)的直线与线段 相交，则该直线斜率的取值范围是( ) 3 3 A. ( ∞, ] ∪ [4,+∞) B. ( ∞, 4] ∪ [ ,+∞) 4 4 3 3 C. [ , 4] D. [ 4, ] 4 4 5.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 2，则 1与平面 1 1 所成角的余弦值为( ) √ 10 √ 6 √ 3 √ 2 A. B. C. D. 4 4 2 2 6.若直线2 + = 0和直线3 + 3 = 0的交点在第二象限，则 的取值范围为( ) A. ( ∞, 3) B. (2,+∞) C. ( ∞, 2) ∪ (3,+∞) D. (2,3) 7.已知直线 : + + 2 = 0过定点 ，点 ( , )在直线2 + 1 = 0上，则| |的最小值是( ) 3√ 5 √ 5 A. 5 B. √ 5 C. D. 5 5 8.已知 + = 0，则√ 2 + 2 2 2 + 2 + √ ( 2)2 + 2的最小值为( ) A. √ 5 B. 2√ 2 C. √ 10 D. 2√ 5 第 1 页，共 12 页 9.如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， = 1 (0 < < 1)， = 1 (0 < < 1)，若 //平面 1 1 ，则线段 的长度的最小值为( ) 1 1 √ 2 √ 3 A. B. C. D. 3 2 3 3 10.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1 1的中点．动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列 四个结论： ①存在点 ，使得 1 = ； ②存在点 ，使得 1 ⊥平面 1 ； ③ 1 的面积越来越小； ④四面体 1 1 的体积不变． 其中，所有正确的结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.若向量 = (4, 1,2)， = ( , 8, 6)且 ⊥ ，则 = ． 第 2 页，共 12 页 12.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1， 1 = 2， 为 1 的中点，则异面直线 1 与 1 所成角 的余弦值为 ． 13.直线2 2 = 0绕它与 轴的交点 按逆时针方向旋转90 所得的直线方程 ． 14.动直线 : (2 + 1) + ( + 1) 7 4 = 0( ∈ )与一点 (4,0).当点 到直线 的距离最大时，直线 的方程为 ． 15.如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 1上动点(包括端点).给出下列四个结论； 2√ 3 ①三棱锥 1 中，点 到面 1 的距离为定值 3 ②过点 且平行于面 1 的平面被正方体 1 1 1 1截得的多边形的面积为2√ 5 √ 3 √ 6 ③直线 1与面 1 所成角的正弦值的范围为[ , ] 3 3 ④当点 为 1 1中点时，三棱锥 1 的外接球表面积为13 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题12分) 已知直线 : ( 1) + (2 + 3) + 6 = 0， : 2 + 3 = 0． (1)若坐标原点 到直线 的距离为√ 5，求 的值； (2)当 = 0时，直线 过 与 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 的方程． 17.(本小题12分) 已知 的一条内角平分线 所在直线 的方程为2 + 1 = 0，两个顶点为 (1,2), ( 1, 1)． 第 3 页，共 12 页 (1)求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2)求第三个顶点 的坐标． 18.(本小题12分) 直线 的方程为( + 1) + 2 3 = 0( ∈ )． (1)证明直线 过定点； (2)已知 是坐标原点，若点线 分别与 轴正半轴 轴正半轴交于 , 两点，当 的面积最小时，求 的周长及此时直线 的方程． 19.(本小题12分) 图1是边长为√ 2的正方形 ，将 沿 折起得到如图2所示的三棱锥 ，且 = √ 2． (1)证明：平面 ⊥平面 ； 5√ 3 (2)棱 上是 ... ...