专题07 “胡不归问题和阿氏圆”求线段最值问题专题—【押题专练】2025年中考数学高分冲刺压轴专题【全国通用】（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考数学高分冲刺压轴专题 第七讲 “胡不归问题和阿氏圆”求线段最值问题专题 【知识梳理】 【胡不归问题】 【模型建立】 【问题】点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使AP＋BP最小． 【作法】过点 A 作∠NAP＝45°，过点 P 作 PE⊥AN，在直角三角形中将AP 转化为 PE，使得AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求 BF 的长度． 【解题关键】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 注意：而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 【阿氏圆问题】 【模型建立】 【问题】如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值. 【作法】连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，或者先构造比例，再求出CD的长，两种方法只不过是条件互换，其实质都是构造共角的子母相似三角形，得到PD=BP，因此有AP+BP=AP+PD，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求AD的长度． 【解题关键】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造共角的子母相似三角形，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 注意：而这里的P的运动轨迹是一个圆，根据相似可以得到kPB的等线段． 【实战精典】 【实训1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 【实训2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点， ∴AO＝3，， ∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵CH⊥AB， ∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴2BC＋AC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 【实训3】如图， 中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为 ... ...