专题06 “将军饮马”求线段最值问题专题—【押题专练】2025年中考数学高分冲刺压轴专题【全国通用】（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025年中考数学高分冲刺压轴专题 第六讲 “将军饮马”求线段最值问题专题 【知识梳理】 【题型�———将军饮马问题】 常见的题型有： 问题1. 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能 使得路程最短？ 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P 【题型二———将军造桥问题】 问题1.已知：将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？(将军过桥) 作法：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 问题2.已知：A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？(将军遛马） 作法：考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB． 构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线． 【题型三———遛马饮水问题】 问题1.如图，将军在图中的点P处，已知将军需要先带马儿去OM的河边喝水，再去ON的草坪吃草，求最短路径。即：已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小． 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，OM的交点就是点Q，R． 问题2.已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R． 问题3.已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小． 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连结P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S． 【解题思路】 关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 【实战精典】 【实训1】如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为 ． 【实训2】如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 【实训3】已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ． 【实训4】如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【实训5】如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【实训6】如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ． 【实训7】如图，中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 【实训8】如图，在矩形中，，，点G在边上，P为边上动点，线段垂直平分交于E，且．现给出以下四个结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确有 （写出所有正确结论的序号）． 【实训9】如图，在矩形中，．为中点，是线段（不含端点）上的动点，连结．设交于点为中点，连结．在下列结论中：①为的垂直平分线；②四点可能共圆；③周长的最小值为；④若为中点，则为等边三角形．正确的是 ．（写出 ... ...