6.2.1 向量基本定理 课标要求 1.掌握共线向量基本定理. 2.掌握平面向量基本定理. 【引入】 在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和 这正是这一节我们要研究的内容. 一、共线向量基本定理 【知识梳理】 共线向量基本定理 (1)定理:如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b= . (2)作用:如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得. 例1 (1)(多选)已知向量a,b不共线,若=λ1a+b,=a+λ2b,且A,B,C三点共线,则关于实数λ1,λ2的值可以是 ( ) A.2, B.-3,- C.2,- D.-3, (2)设向量a,b不平行,向量λa+2b与a+3b平行,则实数λ= ( ) A.- 思维升华 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得(或等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 训练1 (1)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么 ( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 (2)已知两个非零向量a,b不共线, =a+b,=a+2b,=a+3b. ①证明:A,B,C三点共线; ②试确定实数k,使ka+b与a+kb共线. 二、平面向量基本定理 探究1 那么对于平面内的任意向量a和两个不共线向量e1,e2,能否将向量a按e1,e2的方向分解 如果能,分解方法唯一吗 【知识梳理】 平面向量基本定理:如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.平面内不共线的两个向量a与b组成该平面内向量的一组 ,记为{a,b}.此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式. 温馨提示 (1)同一平面内基底有无数多组,只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后,任意向量的表示式唯一,即(x,y)是唯一确定的. 例2 (1)下列说法中正确的是 ( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量;④对于平面内的任一向量a和一个基底{e1,e2},使a=λe1+μe2成立的实数对一定是唯一的. A.②④ B.②③④ C.①③ D.①③④ (2)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组: ①{,};②{,};③{,};④{,}. 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ ... ...
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