1.1.2 空间向量基本定理（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019） 选择性必修 第一册

1.1.2　空间向量基本定理 [学习目标]　1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 一、共面向量定理 问题1　共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容是什么？它们适用于空间向量吗？ 知识梳理 1．共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在_____的实数λ，使得_____． 2．共面向量定理： (1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b_____，则对该平面内任意一个向量c，存在_____的实数对(x，y)，使得c＝_____. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b_____，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在_____的实数对(x，y)，使c＝_____. (3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点_____，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在_____的实数对(x，y)，使＝_____. 例1　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 反思感悟　证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)四点共面：证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． 跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 二、空间向量基本定理 问题2　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p 能否用i，j，k表示呢？ 问题3　请证明有序实数组的唯一性． 知识梳理 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c_____，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. ①若xa＋yb＋zc＝0 x＝y＝z＝0. ②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的_____或_____． ③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合_____能生成所有的空间向量，空间向量的一组基底记为_____．此时a，b，c都称为_____；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 例2　(1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底． (2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点．试用基底{a，b，c}表示向量，，，. 反思感悟　用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 跟踪训练2　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. 三、空间向量基本定理的应用 例3　已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点A为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°. (1)求·； (2)求的模． 反思感悟　利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧 根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角、长度． 跟踪训练3　(1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是(　　) A．锐角三角 ... ...