1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 第1课时 空间中的点、直线与空间向量 [学习目标] 1.理解空间中的点与空间向量的关系以及空间直线的方向向量的意义及求法.2.能利用空间直线的方向向量解决空间中的平行与垂直问题． 一、空间中的点与空间向量 问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 知识梳理 用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由_____唯一确定．此时，称为点P的_____． 例1 已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若＝(－)，求点P的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求点P的坐标． 反思感悟 解决空间点的位置的问题，一般是明确坐标原点，利用空间向量坐标的运算求出目标点的坐标． 跟踪训练1 已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为_____． 二、空间中的直线与空间向量 问题2 空间中给定一个点A和一个方向能确定一条直线l的位置吗？ 知识梳理 直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定． (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合． 例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C，C1重合的任一点，则能作为直线AA1的方向向量的是( ) A. B. C. D. (2)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 反思感悟 对直线方向向量的两点说明 (1)方向向量的选取：在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量. (2)方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 跟踪训练2 已知直线l的方向向量v＝(2,1,3)，且l过A(0，y,3)和B(－1，－2，z)，则y＝_____，z＝_____. 三、用直线的方向向量处理直线的平行、垂直问题 例3 (1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则( ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中点，M为CD的中点． 证明：①BF∥D1E； ②BE不与D1M平行； ③BE⊥C1M. 反思感悟 判定直线平行、垂直的向量法 v1，v2分别为l1与l2的一个方向向量． (1)v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合． (2)v1与v2不平行 l1与l2不平行． (3)v1·v2＝0 v1⊥v2 l1⊥l2. (4)v1·v2≠0 v1与v2不垂直 l1与l2不垂直． 跟踪训练3 (1)已知直线l1的方向向量a＝(－1,2，m)，直线l2的方向向量b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( ) A．－6 B．6 C．14 D．－14 (2)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有( ) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 1．知识清单： (1)空间点的表示． (2)直线的方向向量． (3)会利用直线的方向向量解决线线平行、垂直问题． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归． 3．常见误区：两直线的方向向量共线时要注意两直线是否重合． 1．已知两不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不 ... ...
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