1.2.2 空间中的平面与空间向量 第1课时 平面的法向量 [学习目标] 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直． 一、平面法向量的概念及性质 问题1 设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成什么图形？ 知识梳理 平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个_____向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α_____，则称n为平面α的一个_____，也称n与平面α垂直，记作_____． 性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个_____都是平面α的一个_____． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都_____． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝_____，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 例1 (多选)下列说法中不正确的是( ) A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．平面的单位法向量是唯一确定的 D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量 反思感悟 明确平面的法向量与平面垂直这一重要特征，平面的法向量不唯一且非零． 跟踪训练1 下列说法不正确的是( ) A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量 B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直 C．0是任意一个平面的法向量 D．一个平面的法向量是不唯一的 二、利用法向量证明线面、面面平行与垂直 问题2 请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理． 知识梳理 1．直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v ； n⊥v ，或 . 2．两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2 ； n1∥n2 ，或 . 例2 (1)若直线l的一个方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,1,1)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．l α或l∥α D．l与α斜交 (2)若平面α，β的一个法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为( ) A．10 B．－10 C. D．－ 反思感悟 用向量证明线面平行需检验该直线是否是平面内的直线，若不在平面内，则线面平行，若在平面内，则不能判断为平行；若直线与平面垂直，则直线的方向向量可以作为平面的法向量． 跟踪训练2 (1)若直线l的一个方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的一个法向量为u＝(4,0,8)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．l α D．l与α斜交 (2)若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是( ) A. B．(2，－1,0) C．(1,2,0) D. 三、求平面的法向量 问题3 如何求平面的法向量？ 知识梳理 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 例3 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 反思感悟 求平面的一个法向量的方法 (1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求． (2)待 ... ...
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