1.2.3 直线与平面的夹角 [学习目标] 1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会利用空间向量求直线与平面的夹角． 一、直线与平面的夹角 问题1 直线与平面所成的角是如何定义的？ 知识梳理 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是_____的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的_____，称为这条斜线与平面所成的角． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为_____，A′B是直线AB在平面α内的_____，则_____就是直线AB与平面α所成的角． (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是_____． 当θ＝0°，AB_____α或AB_____α； 当θ＝90°，AB_____α. 例1 正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为2，侧棱长为2，则B1C与平面AA1B1B所成的角为( ) A．30° B．60° C．45° D．90° 反思感悟 利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线． 跟踪训练1 在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BCD1所成角的正弦值等于_____． 二、最小角定理 问题2 如图，OA为平面α的一条斜线，OB是OA在平面α内的射影，OC为α内的任一射线，证明∠AOB≤∠AOC. 知识梳理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是_____． 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中_____． 例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PB＝，PC＝＋1，BC＝2，∠ACB＝45°.求PC与平面ABCD所成的角． 跟踪训练2 在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 三、用空间向量求直线与平面的夹角 问题3 如何用直线的方向向量和平面的法向量表示线面角？ 知识梳理 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量． θ＝_____或θ＝_____， 特别地，cos θ＝_____，sin θ＝_____. 例3 如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． 反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角． 跟踪训练3 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P－ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥AC； (2)试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值． 1.知识清单： (1)直线与平面所成的角及其性质． (2)利用空间向量求直线与平面的夹角． 2．方法归纳：数形结合、代入法、转化法． 3．常见误区： (1)应用cos θ＝cos θ1·cos θ2时混淆各角． (2)利用空间向量求直线与平面的夹角时，忽略所求夹角与求出的向量夹角的区别． 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于( ) A. B. C. D. 2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，则BC1与平面CDD1C1所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，直线DC1与DB所成的角为60°，则直线DC1与平面ABCD所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1,1)，则l与α所成角的正弦值为_____． 1.2.3 直线与平面的夹角 问题1 如图，AA′⊥平面α，AB是平面α的一条斜线， 直线A′B是斜线AB在平面α内的射影，且唯一确定 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
