专题10.3 二项式定理【十一大题型】 【新高考专用】 【题型1 求二项展开式的特定项】 3 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 3 【题型3 两个二项式之积问题】 4 【题型4 三项展开式问题】 4 【题型5 二项式系数和与系数和问题】 4 【题型6 二项式系数的最值问题】 5 【题型7 整除和余数问题】 5 【题型8 近似计算问题】 6 【题型9 证明组合恒等式】 6 【题型10 二项式定理与数列求和】 7 【题型11 杨辉三角】 8 1、二项式定理 考点要求 真题统计 考情分析 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2022年新高考全国I卷：第13题，5分 2023年北京卷：第5题，4分 2023年天津卷：第11题，5分 2023年上海卷：第10题，5分 2024年北京卷：第4题，4分 2024年天津卷：第11题，5分 2024年上海卷：第6题，5分 从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的热点内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解. 【知识点1 二项式定理】 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 =++++++.(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 【知识点2 展开式中的通项问题】 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零； 求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题】 1．赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为 ，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定 理求解. 【知识点4 二项式系数最大项问题】 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第 和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 【方法技巧与总结】 1．. 2．. 【题型1 求二项展开式的特定项】 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ） A．112 B．56 C． D． 【变式1-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式的展开式的常数项是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ） A．6项 B．5项 C．4项 D．3项 【变式1-3】（2024·河北廊坊 ... ...
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